Bulleproofs算法有两个方面的应用。
一个是Rangeproof：
第一讲：?理解零知识证明算法之Bulletproofs--RangeProof1
第二讲：?理解零知识证明算法之Bulletproofs--RangeProof2
第三讲：?理解零知识证明算法之Bulletproofs--RangeProof3
另一个是generalarithmeticcircuits，本编文章就来主要分享Bulletproofs在后者上的应用。
ArithmeticCircuits
Bitcoin Maximalist朱砝：加密货币正在牵动全世界的顶层人士:金色财经现场报道，在8月8日由金色财经主办的金色沙龙活动中，Bitcoin Maximalist朱砝带来主题演讲《比特币接受度 新阶段和新阶级》。朱砝表示，比特币、以太坊以外的绝大部分代币，大部分项目都在被证伪。
在现阶段加密货币行业不再适合普通的团队创业。还是会有独角兽出现，但大环境已经不适合缺乏实力的新团队了，企业很难获得稳定现金流。
另外，全世界的顶层人士正在围绕加密货币进行一些准入制度的设计，说白了就是在设计门槛，这个门槛针对的是散户，也规范着从业企业。[2023/8/8 21:31:49]
了解ZK-SNARK算法应该都知道算术环路的概念，下面一张图展示了zk-snark算法中，算术环路的设计规则。
CoinDesk以接近1.25亿美元与一投资者集团达成出售交易:7月21日消息，据《华尔街日报》援引知情人士报道，一投资者集团接近以1.25亿美元收购加密媒体CoinDesk。知情人士表示，该投资集团由专注于加密货币和Web3技术的私人投资公司Tally Capital的Matthew Roszak和风险投资公司兼家族理财办公室Capital6的Peter Vessence领导。[2023/7/21 11:08:01]
Circuit设计规则：
1.由乘法门和加法门组成，每个门固定两个输入一个输出；
2.不标记通过加法门连接乘法门的线，如图中绿线，仅起到连接作用；
Cool Cats衍生NFT项目Cool Pets交易额突破1亿美元:12月25日消息，据cryptoslam最新数据显示，Cool Cats衍生NFT项目Cool Pets交易额已突破1亿美元，截止目前为107,237,523美元，交易总量达到18,470笔，当前市值约为3785万美元，地板价触及0.0967 ETH。[2022/12/25 22:06:11]
3.同一条线直接或间接连接多个乘法门，仅表示为一条有效的线，为了方便理解，用紫色虚线表示其连接关系；
4.MulGate处的取值为图中红色字体所示
5.黄色线条为有效连接线
6.橙色线条表示MulGate对应的一阶约束
那Bulletproofs算法的算术环路的设计规则是什么样的呢？我们看看下图。
Circuit设计规则：
1.由乘法门和加法门组成，每个门固定两个输入一个输出；
2.不标记加法门
3.不标记有常量的乘法门
4.红色字体表示乘法门的索引
5.黄色字体表示乘法门的输入和输出
6.橙色线条表示乘法门对应的一阶约束
7.蓝色线条表示相邻乘法门间的一致性约束
因此，一个完整有效的算数电路应该满足：
1.每个乘法门对应的的约束成立
2.乘法门之间的一致性约束成立
Zk-snark的算术电路通过R1CS满足了上述两个条件。
1.每个R1CS表示一个乘法门的约束
2.相邻乘法门的输出是下一个乘法门的输入，如图中的y,sym_1,sym_2
Bulletproofs的算术环路以通过以下两种方式满足上述两个条件：
1.每个乘法门对应的约束成立
2.上个乘法门的输出等于下个乘法门的输入。
看起来两个算法的证明一个算术电路有效的思想是一样，但是由于两个电路的标注规则不同，就产生两个不同的约束结果。
Zk-snark算法以validwires为基本要素，每个wire有左输入，右输入，和输出三个属性
Bulletproofs算法以validMulgate为基本要素，每个Mulgate有左输入，右输入和输出三个属性
最后，附上一张对比图：
总结以上可以看出，对数算术环路的满足性问题，不同的算法具有不同的电路描述方式。Zk-snark算法由Circuits转化到QAP，最终生成的证据仅仅再几十个字节大小；
Bulletproofs的算法由Circuits转化到innerproductor，生成的证明的大小和算术电路的乘法门的个数n有关O(log(n*Q)，电路越大，证据越大。
附录
1.Bulletproofs论文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611
2.BCG+讲述了算术电路的另外一种描述形式?https://eprint.iacr.org/2017/1066.pdf
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