在上一篇?ZKSwap团队解读零知识证明PLONK电路?主要描述了PLONK协议里的一个核心部分，用置换校验的方法去证明电路门之间的一致性；接下来，将继续分享如何证明门的约束关系的成立，以及整体的协议剖析。
门约束
举个简单的例子，假如存在一个电路，电路中仅有3个乘法门，对应的约束如下：
L1*R1-O1=0
L2*R2-O2=0
L3*R3-O3=0
进行多项式压缩：定义多项式函数L(X)、R(X)、O(X)满足：
L(1)=L1,R(1)=R1,O(1)=O1
L(2)=L2,R(2)=R2,O(2)=O2
L(3)=L3,R(3)=R3,O(3)=O3
此时，定义新的多项式函数F(X)，令F(X)=L(X)*R(X)-O(X)
则有：
F(1)=L(1)*R(1)-O(1)=0
Trust Machines：2023年第一季度比特币用例出现爆炸式增长:4月30日消息，根据比特币生态系统公司Trust Machines的最新研究，在2023年第一季度，“比特币用例出现了爆炸式增长”。
该报告将比特币NFT、比特币域名服务（BNS）和Stacks区块链（一个比特币智能合约平台，为Trust Machines的大部分生态系统提供动力）的最新发展确定为推动新增长和采用的关键用例。（CoinDesk）[2023/5/1 14:36:19]
F(2)=L(2)*R(2)-O(2)=0
F(3)=L(3)*R(3)-O(3)=0
也就是表明：如果多项式函数F(X)在X=1、2、3处有零点，则说明门关系约束成立。
多项式函数F(X)在X=1、2、3处有零点则表明多项式F(X)可以被(X-1)(X-2)(X-3)整除，为了和论文一致，我们把这个多项式函数设置成Z(X)，即：
F(X)=T(X)*Z(X)==>T(X)=F(X)/Z(X)
数据：目前少量ARB代币已被发送至Coinbase等交易所:3月23日消息，区块链分析公司Nansen在社交媒体宣布已部署Arbitrum空投标签，例如“Max ARB Airdrop Recipient”，后续很快将会向公众开放Arbitrum空投仪表板并实时更新ARB流通供应量。
此外Nansen还透露，目前注意到有少量ARB代币已被发送到Coinbase、OKX、ByBit、Huobi等交易所。[2023/3/23 13:21:39]
如果能证明T(X)是一个多项式，则说明多项式F(X)与Z(X)有相同的零点，进而说明门约束关系成立。
一般过程应该如下：
P计算F(X)并把F(X)发送给V；V根据Z(X)直接校验F(X)/Z(X)但是如此过程存在两个问题，一个是复杂性问题，假如F(X)的阶为n，那通信复杂度就是O(n)；而是安全性问题，多项式F(X)完全暴露给V。
那应该如何解决这两个问题呢？最佳的答案可能就是：多项式承诺
Nimiq已在Polygon上支持Gas 抽象USDC交易:金色财经报道，自托管钱包 Nimiq 正在为 Polygon 用户在其原生钱包中集成 Gas 抽象 USDC 交易，用户可以更轻松地处理稳定币交易，而无需持有二级代币来收取费用。Nimiq 钱包用户现在可以发送和接收 USDC，而无需使用 Polygon 的原生代币 MATIC 来支付 Gas 费用。用户只需持有 USDC，钱包的内置智能合约会在后台自动将 USDC 的 Gas 费用转换为 MATIC，减少使用 USDC 进行日常支付的摩擦。Gas 抽象 USDC 交易在 Nimiq 钱包的最新版本中可用。[2023/3/22 13:20:12]
多项式承诺
什么是多项式承诺？就是证明方P用一个很短的数据来代表一个多项式F，这些很短的数据可以被验证方V用来验证多项式F在某一点的值确实为证明方P声称的值z。
具体看一下论文里的定义：
由图可知：
Setup：初始化，生成计算多项式承诺需要的一些必备参数；Commit：计算多项式承诺，其结果是一个值；Open：返回与多项式承诺对应的多项式函数；VerifyPoly：验证多项式承诺是否和多项式函数一致；CreateWitness：证明多项式函数在某一点的值是否是证明方P声称的值，具体的数学方法就是：判断多项式是否能被整除，即：VerifyEval：验证方V验证多项式函数在某一点的值是否是证明方P声称的值，具体的数学方法是：利用双线性配对验证其数学乘法逻辑关系。继续回到我们上面的问题：
Multicoin Capital的对冲基金去年亏损91.4%:金色财经报道，据Multicoin Capital公司年度投资者信件显示，Multicoin Capital的对冲基金在2022年损失了91.4%。该基金的业绩受到FTX事件以及持有FTT和基于Solana的代币的严重影响。[2023/3/5 12:43:06]
证明方如何证明：T(X)=F(X)/Z(X)，我们再简化一下场景，就令Z(X)=X-1，则:
T(X)=F(X)/(X-1)==>T(X)*(X-1)=F(X)==>T(X)*X=F(X)+T(X)
对应多项式承诺的协议可知：证明方P其实是想证明多项式函数F(X)再X=1处的值为0，因此根据协验证方只需要证明：
e(Commit(T(x)),x*G)=？e(Commit(F(x))+Commit(T(x)),G)(双线性配对的性质)
可以看出，利用多项式承诺的数学工具，既可以实现复杂度的优化，又可以实现隐私保护。
Electric Capital：在Serum(SRM)尽职调查时发现问题，对FTX的敞口有限:11月18日消息，据外媒报道，ElectricCapital高管周四告诉其有限合伙人，Electri在FTX崩溃中影响很小，对FTX的敞口有限，这要归功于Electric在尽职调查时发现了“yellowflags”（存在风险）。Electric曾质疑Serum的代币SRM的代币经济学，其发行时的流通量将占总流通量的10%左右。所有预售、团队和贡献者代币都将在此后一到七年内解锁。Electric认为SRM缺乏流通性，而低流通量会限制供应，从而抬高价格。
Electric因此放弃了对SRM的投资，后来也决定不再投资FTT。据Electric透露，该公司没有FTX股权，也没有接触FTT、SRM或Solana的SOL代币。Electric从未与Bankman-Fried的Alameda Research有过业务往来。目前，该公司有8个比特币由FTX保管。Electric Capital投资的两家未具名的初创公司的其中一只风险基金的拥有FTX资产，风险敞口约为70万美元。（Blockworks）[2022/11/18 13:19:53]
协议
接下来分析一下完整的PLONK协议：
Relation
上图表示了PLONK算法里，要证明的一种关系，需要说明的是：
w代表着电路里的输入、输出，总共3n个，n是电路里乘法门的数量，每个门都有左输入，右输入和输出，因此w总共有3n个；q*代表着选择向量，它的取值对应这这个是乘法门，还是加法门等类似的约束类型σ代表着置换多项式，其表示门之间的一致性约束索引倒数第一个公式代表门之间的约束成立倒数第二个公式代表门的约束关系成立CRS&P_Input&V_Input
上图表示了PLONK算法里的CRS设置，以及证明方P和验证方V的一些输入，需要说明的是：
整个协议都是基于多项式的，因此需要构建对应的多项式形式。多项式σ的阶是3n的，由于和多项式承诺相关的CRS最高的阶位n+2，因此需要把σ拆分成3个多项式S,分别记录每个多项式的置换关系(L、R、O);为了减少通信复杂度和保护隐私，协议基于多项式承诺构建，因此验证方V的输入都是承诺值。Prove
上图表示了PLONK算法里证明方的一些操作，需要说明的是：
b1...b9是随机数，从用法看是为了安全，但是我暂时也没明白，不加这个随机数，又会有什么安全问题？a(X)、b(X)、c(X)分别是代表了电路里的左输入，右输入和输出、、表示多项式的承诺值，参考多项式承诺小节里的承诺计算方法
上图表示了PLONK算法里证明方的一些操作，主要是置换校验，参考第一篇的置换校验的协议过程，生成多项式z(X)，需要说明的是：
β和?都是用来生成置换校验函数的参数，详见第一篇里f(x)和g(x)的生成过程；z(X)的生成方式对应置换校验里跨多项式的生成过程，Li(X)为拉格朗日多项式基，性质满足，尽在x=i的时候为1，其他为0；注意区分ω和w，ω是群H的生成元，是多项式的自变量的取值。w是电路的左输入，右输入和输出，是多项式L,R,O在在群H上的取值。
上图表示了PLONK算法里证明方P的一些操作，主要是把门约束和门之间的一致性约束组合到一起，通过α，需要说明的是：
根据前面的描述，门约束多项式和一致性约束多项式在群H上的所有元素都是取值为0的，因此都会被多项式ZH(X)整除，等同于上面所述的T(X);因此，证明方只要能证明整除的结果的确是多项式，那就能证明，门约束多项式和一致性多项式在群H所有元素上取值为0，即所有约束关系成立，即电路逻辑成立；可以知道的是t(X)的阶最高为3n，但是用于计算承诺的CRS只到了n的级别，因此需要把多项式t(X)拆分，然后单独计算承诺值。
上图表示了PLONK算法了证明方P的一些操作，主要根据多项式承诺的协议，前面P算出了多个多项式在点x=z处的值是多少，现在要用多项式承诺协议去证明，这些计算是正确的，需要说明的是：
为了减少验证方V的操作复杂度，t(X)的分子部分r(X)在x=z处的值，P计算好，然后验证方直接验证，其他的操作类似；v的值看起来是为了更安全；Wz(X)对应多项式协议里的CreateWitness操作，证明这些多项式r(X),a(X),b(X)等在x=z处的值确实等于r,a,b等，对Wzw(X)同理，并返回承诺值。Verify
至此，证明方P的所有操作都完事了，接下来都是验证方V的操作。
上图表示了PLONK算法里验证方V的一些操作，主要重新生成相关的参数，确保证明方P没有作恶。需要说明的是：
从输入看，比较清晰，就是一些公开的输入和证明方P的证明输出；根据输入，生成置换校验过程中需要的一些参数
上图表示了PLONK算法里验证方V的一些操作，对于一些公开的，并且计算复杂度很小的多项式，其在x=z处的值还是需要自己计算，更为方便。需要说明的是：
根据证明方P的过程来看，验证方V的核心工作就是验证两个多项式承诺；两个多项式承诺验证需要两个配对，可以通过一个参数组合成一个配对，即μ；在验证前，先计算Wz(x)，Wzw(x)的分母在x=z处的值，两部分，减数和被减数，分别对应、。μ作为系数的，就是对应Wzw(X)多项式的。最后通过一个双线性配对操作完成两个多项式承诺的验证。结束
至此，PLONK算法的协议原理已全部分享完成，公式很密集，但是细分下来，又很有层次感。能坚持看完，已实属不易。
郑重声明： 本文版权归原作者所有， 转载文章仅为传播更多信息之目的， 如作者信息标记有误， 请第一时间联系我们修改或删除， 多谢。