最近研究了下零知识证明算法-PLONK。肚子里的墨水又增加了，借此记录学习成果与心得体会---ZkSwap小白。
现状
近些年，各种新的零知识证明算法层出不出，各有各的特点，各有各的优势。借用V神系列文章里的一张图来简单呈现下当前的零知识证明算法现状。
从图中可以简单总结出以下几点：
理论上安全性最高的是STARKs算法，不依赖数学难题假设，具有抗量子性；Proof大小上最小的是SNARKs算法，如Groth16;PLONK算法在安全性上和Proof大小上，位于上述两者之间；其他的这里不做过多阐述，如想了解零知识证明更多信息，可参考链接；对于SNARKs算法，绕不开的一个点就是中心化的TrustSetup，也称之为CRS(theCommonReferenceString)。而无论是PGHR13,Groth16,还是GM17算法，它们的CRS都是一次性的，不可更新的。即：不同的问题将对应着不同的CRS，这在某些场景下，会变得比较麻烦。这些存在的问题，变了PLONK，SONIC这类算法的一个优势，它们算法虽然也需要中心化的可信设置，但是它的CRS具有一定的普适性。即：只要电路的大小不超过CRS的上限阈值，一些证明问题就可以共用一个CRS，这种CRS称之为SRS(universalStructuredReferenceString)，关于SRS的定义，详细的可参考SONIC协议里的第3小节。PLONK算法继用了SONIC算法的SRS的思想，但是在证明的效率上，做了很大的提升。接下来，让我们详细的介绍下PLONK算法的具体细节，主要从下面四个小节去分享：
Arbitrum公布定序器故障报告：用户资金安全，将创建Arbitrum网络状态页面:6月10日消息，Arbitrum 基金会官方公布此前 Sequencer（定序器）Bug 处理的事后分析文档，解释了 Sequencer 批处理问题的原因，其中主要提到三点重要事项：1、Sequencer 没有宕机或耗尽资金；2、Sequencer 会继续接受用户交易；3、用户资金没有面临任何风险。[2023/6/10 21:27:38]
电路的设计--描述PLONK算法的电路的描述思想；置换论证或者置换校验--复制约束，证明电路中门之间的一致性；多项式承诺--高效的证明多项式等式的成立；PLONK协议--PLONK协议剖析；电路
PLONK算法电路的描述和SONIC算法一直，具体的过程可以参考李星大牛的分享，已经写的比较详细且易懂。在这个小篇幅里，我想主要分享下我自己的两点想法：
近期比特币与贵金属价格走势相关性增加:5月19日消息，据 intotheblock 数据显示，近期比特币与贵金属的价格走势相关性有所增加。intotheblock表示，该现象的出现或与宏观焦点从利率转向银行业危机和美国违约风险有关。此外，美元指数（DXY）近期的反弹或许也是导致比特币、贵金属价格共同下跌的一个重要因素。[2023/5/19 15:14:05]
无论是什么样的电路描述方式，电路的满足性问题都要归结于2点，门的约束关系和门之间的约束关系成立；在SNARKs系列的算法里，电路的描述单元都是以电路中有效的线为基本单元，具体的原理可以参考我之前分享的文章，而在PLONK，SONIC以及HALO算法里，电路的描述单元都是以门为基本单元。这两种电路的不同描述方式带来了一定的思考。那就是，之前在研究SNARKs算法时，我们都已经相信一个事实，“多项式等式成立，就代表着每个门的约束成立”，然后推断，整个电路逻辑都是成立；在这个过程中，并没有额外的去证明门之间的一致性成立；但是在PLONK算法里，除了要证明多项式等式成立外，还要额外的用置换论证的数学方法去证明门之间的约束关系，即复制约束。为何会有这样的区别？希望有心的读者能一起在评论区探讨这个问题？我个人理解是因为电路的描述方式的不同：
Okex上BTC永续期货未平仓合约创5个月高点:金色财经报道，Glassnode数据显示，Okex上BTC永续期货合约的未平仓合约为912,347,396.08美元，创5个月高点。[2022/10/10 12:50:56]
PLONK算法里，电路描述的单元是门，它为每个门定义了自己的L,R,O，因此需要证明门之间的一致性；SNARKs算法里，电路描述的单元是线，门与门之间的值用的是同一个witness，因此不用额外证明一致性；置换论证
前面我们说过，在PLONK算法里，需要去证明门之间的约束关系成立。在做具体的原理解释之前，我们先简单的过一下PLONK协议的过程，如下图所示：
可描述为：
根据电路生成三个多项式，分别代表这电路的左输入，右输入，输出；利用置换校验协议，去证明复制约束关系成立；步骤3和4，校验门的约束关系成立。其中第1点已经在电路小节里阐述过了，接下来，将详细的讲解多项式置换校验的原理。先从简单的场景去讲解：
对冲基金巨头Point72 Asset Management将招募数字资产运营负责人和加密技术负责人:7月11日消息，多策略对冲基金巨头 Point72 Asset Management 正在加深推动数字资产业务并开始配置加密货币业务高管，其中包括一名直接向该公司首席技术官 Mark Brubaker 汇报的加密技术负责人，以及一个数字资产运营的负责人，负责投资组合经理和分析师的中后台团队之间的协调支持工作。
目前，Point72 Asset Management 已经开始在交易数字资产支持的 ETF 和类似的机构级产品，包括灰度的以太坊信托 (ETHE) 和比特币信托 (GBTC)，但尚未交易现货数字资产。（Blockworks）[2022/7/11 2:06:09]
单个多项式的置换校验
其实就是证明对于某个多项式f，存在不同的两个点x,y，满足f(x)=f(y)。下面来看具体的原理：
乌克兰副总理出演说唱视频，呼吁加密货币捐款:5月24日消息，乌克兰区块链公司Everstake与乌克兰副总理兼数字转型部长Mykhailo Fedorov合作，创作了一段说唱视频。在说唱视频中，Mykhailo Fedorov敦促加密货币爱好者继续为慈善组织“Aid For Ukraine”捐款。该慈善组织为乌克兰的军队筹集资金，也为人道主义需求筹集资金。（Be In Crypto）[2022/5/24 3:38:39]
上图中加入了一个正例P，一个反例A，方便大家理解置换校验的原理。有几点需要解释的是：
而经过仔细剖析Z的形式，不难发现，Z(n+1)其实就是两个函数所有值的乘积的比值(不知是否等同于V神文章里的坐标累加器？)。理论上是等于1。因此，我们需要设计这样的一个多项式Z，需满足：deg(Z)<nZ(n+1)=1
乘法循环群刚好可以满足这个条件，如果设计一个阶为n的一个乘法循环群H，根据群的性质可以知道Z(g)=Z(g^(n+1))。因此，在设计Z时，会保证Z(g)=1；上图中的自变量的取值也将从{1...n}变成{g...g^n}。所以在上图中验证的部分，a其实已经换成了群H里的所有元素。根据论文中的协议，多项式Z是会发给可信第三方I验证方V会从I处获取到多项式Z在所有a处的取值，然后依次校验。下面具体看一下论文中的定义：
从定义中可以看出：多项式f,g在范围内具有相同的值的集合；下面看一下论文中具体的协议部分，结合上述解释的3点：
说明：图4中的f,g对应图3中的f。即f,g是同一个多项式。其实只要是相同的值的集合，也可以不用于是同一个多项式。图3是一个特例而已。
跨多项式的校验
其实就是证明对于某个多项式f，g，存在两个点x,y，满足f(x)=g(y)。与存在两处不同：
多个多项式；不强制x,y的关系，即也可以等，也可以不等；有了(1)小节的基础，这次我们先看一下相关的定义：
从定义可以看到，这次是两个多项式集合见的置换校验算法。从标注的部分可以看出：
两个多项式集合仍然具有相同的值的结合；为了区分集合里的多项式，自变量的索引得区分开来；因此，可以想象的到，如果存在两个多项式f,g，想要证明f(x)=g(y)，那么根据以上描述可以判断{f1,f2}={f,g}={g1,g2}。也保证了上述第1点的成立。
下面我们看一下具体的原理：
和(1)小节相比，证明方P增加了些工作量，验证方V工作量不变。结合上述描述，也能很容易的理解其数学原理。
说明：至此，其实我们已经慢慢的接触到PLONK算法的核心了，前面我们讲到，电路的满足性问题除了门的约束关系还有门之间的约束关系。
比如一个输入x，它既是一个乘法门的左输入，又是另外一个乘法门的右输入，这就需要去证明L(m)=R(n)，这就是跨多项式的置换校验。
下面再给出论文里的协议内容：
至此，本篇文章已经描述了，在PLONK算法里，电路的设计以及复制约束的成立验证两大部分，接下来，将会另起一片文章，去分享门约束的成立和整个协议的具体步骤。
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