Uniswap 是 DeFi 领域的头部去中心化交易所，其在今年 5 月上线了 V3 版本协议。V3 版本与之前 V2 版本相比存在诸多差异，如集中流动性、多个费用等级、新的预言机等等。
在这些多样的特点背后，究竟藏着怎样的数学奥秘，同时是否真的能为用户带来更大的收益，减少无常损失？
知道创宇区块链安全实验室?将带你从数学原理角度在 Uniswap V3 集中流动性方面进行剖析。
在 Uniswap V3 中， 流动性提供者可以将其提供的流动性 "限制" 在任意的价格区间内来集中其流动性。
为了解释这一概念，首先我们关联到 Uniswap V2 的自动做市商曲线。在该曲线中，用户的流动性被均匀的分布在整个 (0,正无穷大) 之中。
图1
在 V2 版本中，由于许多池子的价格变动没有那么的频繁，比如 UDST/DAI 池子中。由于其价值均锚定美元，发生的交易将会聚集在上图中的 A 点附近（即x≈y）， 这就意味着流动性池中的大部分资产是永远不会被触及到的。
因此在 V3 中，用户可以将其流动性聚集在某一个线段。如下图 B 到 C 点：
Babel Finance创始人：中国投资者并未深入GME、狗狗币交易背后的“革命”中:1月30日消息，香港加密货币贷款机构Babel Finance创始人兼首席执行官Flex Yang在采访中表示，不管是GameStop（GME）事件还是狗狗币的暴涨，从加密货币贷款机构的角度来看，中国的散户投资者并没有深入或积极地参与这场交易狂潮背后的真正“革命”。（Coindesk）[2021/1/30 18:28:04]
图2
这样，由于大量用户的流动性被集中，对于 B 点到 C 点的线段的流动性将会变得非常 "厚"，这样的池子将使得来交易的人交易滑点得以显著减小，并有效提高资本效率。
在具体实现的过程中，V3 依靠了资产的杠杆。将一部分用户资产虚拟出来，导致了坐标轴图像的平移，虚拟资产假设对应 x' 和 y'。
在原始的 Uniswap V2 中，曲线公式为：x*y=k
Uniswap V3 通过引入 x' 和 y' 资产升级了该公式。此处x'我们将其称为 x 资产的虚拟储备，y' 称为 y 资产的虚拟储备，于是引入了如下式子：
由于为资产添加了杠杆（虚拟资产），使下图中原本在下面的曲线，能够平移到上面储备量更大的曲线中去，这也意味着在有限的的价格范围 [xb, xc] 内，一组较小的储备 x、y 能够充当更大的储备 x+x'、y+y'。
声音 | 华软资本董事长：负利率是否会影响未来数字货币信用或可计算交易体系值得深入探索:12月18日，华软资本董事长、华夏新供给经济学研究院院长在第一财经发布评论文章。文章表示，负利率对下一阶段的货币形态发展带来新的不确定性，也许为“另辟蹊径”提供某些启发。随着信息技术和互联网的发展，货币及其价值传递方式出现了根本性的转变，以信用卡、网银和移动支付为代表的电子货币，以及数字货币、区块链和加密资产等都在快速发展。特别是以Facebook筹备计划推出Libra(天秤座)为代表，其目标是发展成为一种“不企求对美元汇率稳定而追求实际购买力稳定”的加密数字货币，这对未来数字货币的重要性、演化形态和利率价格等引发了全球关注。与此同时，中国央行主导的主权数字货币DCEP已有实质进展，欧洲央行也开始考虑发行公共数字货币的多种方案。数字化相当程度上加速了全球资金流动，可以部分解释利率下行原因，但负利率是否会影响未来数字货币的信用或可计算交易体系，更值得深入探索的。[2019/12/19]
同时，上方为虚拟资产被添加后的虚拟 AMM 曲线。在实际交易曲线中（限于 BC 点），下方才是流动性提供者资产的真实变化曲线。
于是，在 B 点或 C 点时，处于强势的资产将被损耗为 0，也就是说将会全部兑换成劣势资产并停止做市。
声音 | 陈思劼：区块链等技术不断深入应用，推动产业发生深刻变革:12月13日下午，第一财经2019杰出商界领军者高峰论坛在上海举行。上海第一财经传媒有限公司总经理陈思劼在会上致辞。陈思劼表示：新一轮的科技革命正在悄然到来，众多产业被新科技激发活力，比如人工智能、大数据、区块链和云计算等技术，在行业不断深入应用，推动产业发生深刻变革。新技术的发展在新经济时代势不可挡，企业的创新升级势在必行。[2019/12/13]
如下图 3：
图 3 上方为虚拟平移的AMM曲线
根据 V2 的自动做市曲线方程。让 L 被定义为 k = L^2，于是有该式：x*y = k = L^2
对其开根号，即有
而对于价格来说，当前的价格 P (用 y 对 x 资产定价)有：
根据式 3，对其取平方根，即有：
联立式 4 与式 2，我们可以消去 y，对于闭区间 [B, C] 任一点，则有：
同理可消去 y，对于任一点，则有：
于是，我们只要知道 P ( x 的价格)，在流动性没有改变时( L 不改变)，则可以得到对应的 x 资产量和 y 资产量。
声音 | 中国互金协会副秘书长：我国区块链在金融领域应用总体处于早期尝试向深入探索转变的过渡阶段:金色财经报道，11月20日，“金融进化论：2019新京报金融科技论坛”上，中国互金协会副秘书长杨农表示，当前，我国区块链在金融领域应用，已在供应链金融、金融数据共享和金融信息存证等场景中形成了一些落地案例，总体处于早期尝试向深入探索转变的过渡阶段，且呈现出探索性应用数量较多、参与主体较为多元、底层技术原创有待加强等特点。同时，区块链在我国金融领域的应用探索也面临着如下几个方面的挑战：技术层面仍难以兼顾部分金融应用场景对安全、功能和性能的要求；研发层面自主创新有待加强，对国外开源程序的广泛应用可能导致技术依赖风险；业务层面部分金融应用环节尚存在模糊地带，部分机构在开展区块链应用创新时缺少权威的第三方评估意见作为参考；治理层面存在法律规制困难，如链上资产和智能合约等方面的法律有效性界定不清晰。[2019/11/22]
图4 虚拟资产x'与y'
考虑极端情况，在上图中，经过平移后上方的 AMM 图形由于在 B 点时，用户提供的 x 资产由于在实际中已全部损耗。
也就是说 x=0，剩余的 x 均为虚拟出来的，即 x'。
明日国会听证会将深入研究区块链在供应链管理中的应用:据coindesk消息，国会小组委员会将在明天的听证会上继续区块链实况调查任务。明日的会议将比2月份由科学，空间和技术研究和技术及监督小组委员会内部委员会举行的类似听证会更加详细，将深入研究该技术在供应链管理中的应用。众议院科学委员会主席Lamar Smith的一位代表告诉CoinDesk，“知识产权，网络安全以及航运和物流方面的专家”将参加此次听证会。[2018/5/8]
根据式 5 去计算。此时计算 x 资产量对于 B 点有：
同理，我们计算 C 点，此时用户提供的 y 资产由于在实际中已全部损耗，即有 y=0，剩余的 y 均为虚拟出来的，即 y'。则有
由上可知，xb?与?yc?则是Uniswap为用户虚拟出来的Token量，即x'与y'，这也是Uniswap中为用户开的杠杆的Token数量。
于是，我们得到完整Uniswap V3的AMM曲线，见式9：
同时，对于选定的区间中的任意一点，由用户提供的真实的资产见下图：
注：下图摘自Uniswap V3白皮书 ，区间为[b,a]，任意一点被选择为c
图 5 用户提供的真实资产与虚拟储备 AMM 曲线
由于 V3 在用户的选择下将流动性使用添加杠杆的方式进行了集中，而对于流动性提供者来说本质上是在与用户做对手盘，即越跌越买，越高越卖，这将导致无常损失的加剧。
根据上述分析，只要价格达到设定的区间临界点，流动性提供者的代币将会完全转换为另一种处于劣势的代币，并且在价格重新进入该临界点之前不会赚取交易费用。
世上没有什么免费的午餐。风险越高，收益越高。你提供的流动性越集中，你获得的手续费收入就越高，同时也将承担更多的无常损失。——Uniswap创始人，Hayden Adams
具体而言，假设现有一 Uniswap V3 交易池，交易对 ETH/DAI，池中 X 与 Y 储备比例 10 : 800，L2 为 8000，P 为 80 即交易价格 80DAI /ETH 。
当前价格对应点 A(10,800)， 若一流动性提供商，尝试在 P=[20, 320]进行做市。对应的 点B(5,1600)，P=320。点 C(20,400)，P=20
该流动性提供商想投入 3 个 ETH，这 3 个 ETH 会被全部用于 xreal ，由于当前价格在选定区间内。
根据白皮书，有以下式子：
由式 10，投入 △x=3，投入的 ETH 将改变池子的 L。经过计算 △L 为：
再通过 △L 计算 △y:
于是投入 3 个 ETH（△x）,时，计算投入的 DAI 应为 240 个。新的 L' 约为 143.11 (仅限于在闭区间 P=[20, 320])。
对于该 Uniswap V3 池子, 若 ETH 突然上涨，价格到达 1ETH=100DAI，此时就会有套利者在该 DEX 中用 DAI 兑换 ETH 来套利，为了将其达到与外部平衡，将有 P=80 ==> P'=100，根据白皮书，Swap 计算价格变化如下：
将根号后的起始价格 P 和结束价格 P' 带入，可以计算得到 △y≈151.09，而 △x≈1.689。
若 Swap 的资产假设该流动性提供者按照 L 比例划分了 37.5%，于是该流动性提供者分摊 x≈0.6334，y≈56.66
于是我们得出如下表格：
我们将其百分比化：IL_V3 = (540-533.31)/540 ≈1.239%
集中流动性放大了资产L的占比，提高资产效率的同时承担了更多的无常损失。当然，这只是选择做市区间比较小，同时分摊比例较大的情况，现实会有许多人根据投入的L占比大小来分摊这笔swap。并且该笔swap由于本身比较大，几乎占了总资产的21.113%，进而显得无常损失的百分比很大，这也印证了盲目做市所带来的亏损。另外，价格波动对其也存在影响，只上涨到P=85时IL_V3约为0.58%。
而对于 Uniswap V2，假设原池中的资产量为 10 个 ETH 和 800 个 DAI，即 P 为 80DAI/ETH。
流动性提供者投入了 3ETH 和 240DAI，此时则存在 13 个 ETH 与 1040 个 DAI，价格仍为 80DAI/ETH，比重占 23.077%，新的 K 为 13520。
当 ETH 突然上涨，价格到达 1ETH=100DAI，此时就会有套利者用 DAI 兑换ETH来套利。
设共用 △y 个 DAI 兑换 △x 个 ETH 后，AMM 池中 ETH:DAI 价格达到与外部平衡的 1:100
不考虑手续费等因素，则有：
解得 dx≈1.3724, dy≈122.76，即套利者给了 122.76 个 DAI，换走了 1.3724 个 ETH。池子 -1.3724 个 ETH，+122.76 个 DAI
这将在所有比重中分担，于是提供者分担23.077%，即失去0.3167个ETH，换取28.33个DAI，我们得出如下表格：
IL_V2 = (540-536.66)/540 ≈ 0.6185%
具体将会取决于在 V3 做市区间，越小则杠杆越多，x' 和 y'越大，同时无常损失和手续费收益也会越多。
当然，用户也可以如 V2 一样将流动性分摊到整个曲线中去而不是某个线段，即在 0 到正无穷进行做市：
由于篇幅原因，本篇仅就集中流动性进行了讨论。Uniswap V3 创新了很多的新功能，其复杂程度相较于 V2 增加了非常多。
无可否认，Uniswap V3 的创新使得 Uniswap V2 被加强，用户可以选择将其流动性集中在任何一个区间以获得更多的手续费。
但与此同时这也将导致更多的无常损失和更大的资金转换为劣势资产速度，而这也产生了许多新特性如限价单 swap 等功能。
因此，在选择做 LP 之前，需要认真思考自己的需求，切忌盲目做市。
Uniswap V3白皮书
Uniswap V3新特性解析
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