错误学习问题（Learning with Errors，简称LWE）由Regev在2005年提出，该问题已经成为格密码学中广泛使用的密码学基础。LWE问题是一个平均情况下的问题，Regev在论文中将LWE问题量子归约到格上标准困难问题。因此在LWE问题之上建立的所有密码学方案，都能够将其安全建立在格问题的最坏情况下困难性之上。
本文节选自陈智罡博士的博士论文。
1.1.1 LWE问题
LWE问题就是给出一些关于秘密向量s的“近似”随机线性方程，其目标是恢复秘密向量s。例如给出如下一些“近似”随机线性方程：
机构加密货币交易平台Elwood获得泽西岛投资业务许可证:金色财经报道，机构加密货币交易平台Elwood Capital Management Limited宣布已获得泽西岛金融服务委员会(JFSC)的投资业务许可证。Elwood现在可以根据Elwood资本管理有限公司的虚拟资产服务提供商(“VASP”)附表2注册提供证券代币和衍生品交易，以及非证券交易。[2023/6/2 11:54:27]
14s1+ 15s2+ 5s3+ 2s4≈8 (mod 17)
13s1+ 14s2+ 14s3+ 6s4≈16 (mod 17)
Polygon联创Sandeep Nailwal启动Web3奖学金计划:5月15日消息，Polygon联合创始人Sandeep Nailwal和他帮助创立的风险投资公司 Symbolic Capital 周一宣布推出新的 Nailwal 奖学金，为早期建设者提供从 Web2 到 Web3 的飞跃的财务支持。Nailwal 承诺将自己的钱捐给每年选出的 10 名builders，总金额为 500,000 美元。该奖学金侧重于个人而非团队。[2023/5/16 15:04:49]
6s1+ 10s2+ 13s3+ 1s4≈3 (mod 17)
加密安全初创公司Carret完成种子轮融资，Sandeep Nailwa参投:金色财经报道，加密安全初创公司Carret宣布完成了一笔未公开金额的种子轮融资，Polygon 联合创始人 Sandeep Nailwal、贝莱德前高管 Yan Wu 和 Amesten Capital 等参投。Carret 主要构建加密安全应用程序，他们将利用这笔资金加强其运营、满足市场营销需求、扩大产品和战略垂直领域，并将把业务拓展到中东市场。（thewatchdog）[2022/8/13 12:22:32]
10s1+ 4s2+ 12s3+ 16s4≈12 (mod 17)
Binance Labs 宣布战略投资链游开发商 AlwaysGeeky Games:3月4日消息，Binance Labs宣布战略投资AlwaysGeeky Games ，金额为110万美元，该项目是一个名为Voxies的NFT项目和名为Voxies Tactics的游戏的创建者。
据悉，Voxie Tactics是一款复古风格的战术角色扮演游戏，允许玩家将他们在 Voxies NFT 项目中拥有的自己的Voxies角色带入游戏，以获得额外的游戏玩法优势，以及定制适合玩家的可玩体验玩家拥有的Voxie角色。[2022/3/5 13:38:36]
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9s1+ 5s2+ 9s3+ 6s4≈9 (mod17)
在上述每个方程中，加入了一个小的错误，该错误在+1和-1之间，目标是恢复向量s。如果上述方程中没有加入错误，则使用高斯消元法就可以在多项式时间内恢复向量s。但是由于加入了错误，使得该问题变得非常的困难。
LWE问题定义 参数n ≥1，模q ≥ 2，是上的一个错误概率分布。是上的一个概率分布，该分布通过如下方式获得：随机均匀选择一个向量a∈，根据分布选择错误向量e∈，输出（a，b=< a , s > +emod q）。LWE问题是对于s∈，给出任意数量的从取出的独立实例，其目的是输出s。
LWE判定问题 上述LWE问题是一个LWE搜索问题，密码学中更感兴趣的是LWE问题的另外一个版本：平均情况下的LWE判定问题。即对于随机均匀选择的s∈，能够以不可忽略的概率区分分布与均匀分布上的实例。判定LWE问题可以归约到搜索LWE问题。
如果在均匀选择秘密向量s的情况下，判定LWE问题可以被解决，则对于所有秘密向量s，判定LWE问题都可以被解决。
LWE问题与BDD问题 上述LWE问题定义中，对于m个从取出的独立实例，可以用随机均匀矩阵A∈和b=AT s+e表出。所以LWE问题可以看成是随机格上的BDD问题。
参数说明 分布是一个标准偏离是的类似高斯分布，其中，通常取为1/poly（n）。模q一般是关于n的多项式。LWE实例的数量并不重要。
LWE问题的困难性 以下三个原因说明LWE问题是困难的。第一，已知最好的求解LWE问题的算法运行时间是指数级的，即使是对量子计算机也没有任何帮助。第二，LWE问题是LPN问题的自然扩展，而LPN问题在学习理论中被广泛研究而且普遍认为是困难的。此外LPN问题可以形式化为随机线性二元码的解码问题，如果LPN问题的求解算法有一点进步，则意味着编码理论的一个突破。第三，也是最重要的，LWE问题被归约到最坏情况下的格上标准困难问题，例如GapSVP和SIVP[11,85]。
Regev在2005年证明了只要，那么在平均情况下解决LWE问题，其困难性至少与使用量子算法近似格上标准困难问题相同，其中近似因子是。随后Peikert在2009年给出了一个相同近似因子的经典约减而非量子约减，但是需要满足q≥2n/2。最近Brakerski等人在2013年给出了在q为多项式的情况下的一个经典LWE问题的约减，但是在维数上有所损失[120]。
在LWE问题中，s可以随机均匀的取自于。这一方面使得的长度可以更短，另外一方面其困难性不变。
假设根据高斯分布选择的错误向量长度的界是B，则有B≤，得到，从而。该式反映了近似因子与q/B的大小有关，而q/B又与全同态加密方案的计算深度有关，所以当维数n和B固定的情况下，模q越大，全同态加密方案的安全性越低，而全同态加密方案的同态计算能力越高。
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