从数学角度论证和解释 Uniswap 创始人与 Paradigm 研究团队设计的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。
最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 与 Uniswap 创始人 Hayden Adams 一起合作设计了一个全新的做市模型「时间加权做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根据其发表文章介绍，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大额订单，工作原理是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，在一定时间内使用嵌入式 AMM 平滑地执行这些交易。
关于 TWAMM 的虚拟交易所涉及的数学，Dave White 在文中并没有多费笔墨，只在最后给出了非常简单的数学结论，这对于理解 TWAMM 的数学原理非常不利。本文将重点对 TWAMM 的数学原理进行严格的论证和解释，至于 TWAMM 模型详细的设计原理，可以前往 Paradiagm 官网查看，本文不再做详述。
OPNX已对风险投资家Mike Dudas提起诽谤诉讼:金色财经报道，根据三箭联合创始人Kyle Davies和纽约州法院记录，OPNX已对风险投资家Mike Dudas提起诽谤诉讼。在6月初提交的传票通知中，OPNX指控Dudas在2023年 2 月至 3 月期间发表了有关该公司的诽谤性评论，当时Davies和他的合伙人Su Zhu公布了他们的OPNX。该文件没有具体说明Dudas的诽谤性言论是什么。
据悉，Dudas是加密货币行业的知名人物，经营着6th Man Ventures，并曾掌管加密货币媒体The Block。[2023/6/23 21:55:38]
假设 TWAMM 执行大额虚拟交易需要 N 个区块，出售 X 的池子以每区块 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每个区块 yrate 的速率出售。因此，在整个期间售出的 X 总量为 xin=Nxrate，售出的 Y 总量为 yin=Nyrate。
恐慌与贪婪指数较过去3个月的低点已明显好转:金色财经消息，恐慌和贪婪指数当前为31。过去3个月数据显示，在过去一周，随着BTC价格冲高回落，市场情绪也有一定幅度下跌。但如果对比过去3个月数据，可见目前市场情绪已经明显好转。低点在10以下，而目前已经站上31。[2022/8/7 12:06:59]
同时，我们将此时间段嵌入 AMM 的初始储备 xreserve 和 yreserve 分别表示为 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。
按照 TWAMM 的设计，大额订单是随着区块进行交易的，每个区块出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同时 AMM 会更新 xreserve 和 yreserve 的值，整个过程总共交易 N 次。
值得注意的是，AMM 的每个区块交易总是遵循恒定乘积做市。
以太坊上NFT周交易量下降至10.5万ETH:7月4日消息，据Nansen数据显示，以太坊上NFT周交易量下降至10.5万ETH，已从5月最高点每周57万ETH回落约81.6%。[2022/7/4 1:49:11]
首先，在执行第 n-1 区块的交易后，我们假设此时 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分别为 xn-1 和 yn-1。
接下来执行第 n 区块的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分别向 AMM 输入 xrate 和 yrate，命：
Osmosis选择Axelar作为跨链服务提供商，启动跨生态系统交易功能:6月17日消息，基于Cosmos的跨链自动做市商Osmosis宣布推出跨生态系统代币交易功能，这是DEX上第一个由跨链通信基础设施提供商Axelar启用的产品，Osmosis DAO已投票选为连接以太坊生态系统的跨链桥。Osmosis已经支持以太坊和基于Cosmos的代币之间的交换，并将很快利用Axelar支持Avalanche、BNB Chain、Polkadot和Polygon生态系统，为通用跨链交易创建一键式应用程序。[2022/6/17 4:33:43]
因为 xrate 和 yrate 非常微小，且区块的交易 AMM 遵循恒定乘积做市商，我们可以得到，
纽约州总检察长警告加密货币投资者:6月15日消息，纽约总检察长Letitia James向纽约人民发出了关于投资加密货币的警告。
根据纽约总检察长办公室发布的一份新闻稿，随着加密货币市场价值达到历史最低点，投资者在数字资产中损失了“数千亿”美元。
报告称，加密货币行业受到极端和不可预测的价格波动影响，使加密资产成为风险最高的投资之一。该报告还强调了5月份市场价格的暴跌，比特币从2021年11月起跌至历史最高点的50%以下。（Cryptoglobe）[2022/6/15 4:28:48]
化简，
在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我们进一步可以获得 n 区块的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，
通过观察，我们发现 xn*yn=xn-1*yn-1，这正好符合 AMM 的循恒定乘积做市的前提要求。
令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，这是一个常数。
先对 xn 求得一般公式，并获得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。
yn 的分式线性递归表达式如下：
首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，则
计算得到，
而，
xin 等于 0，yin 不等于 0 时，讨论同上。
若 xin 和 yin 都不等于 0，对于一般的分式线性递归，我们可以采用不动点的方法求解。
进一步计算，
TWAMM 的基本假设是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，也即是 N 可以取无穷大，这时候可以获得 xN 的极限值。
其中，
相似的，
最后，经过简单的验证 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然满足 AMM 的恒定乘积。
至此，我们完成了 TWAMM 的数学原理严格的论证和解释，并得到了与 「时间加权做市商 TWAMM」 一文完全相同的结论。
撰文：luffy
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