本文已更新至Github
https://github.com/sec-bit/learning-zkp/blob/master/zkp-intro/3/zkp-pok.md
导言：有些理论非常有趣，零知识证明便是其中之一，摸索了许久，想写点什么，与大家一起讨论。本文是『探索零知识证明』系列的第三篇。全文约7,000字，少量数学公式。
Andwhat,Socrates,isthefoodofthesoul?Surely,Isaid,knowledgeisthefoodofthesoul.?苏格拉底，什么是灵魂的食物？我说过，当然是知识。——柏拉图
「零知识」vs.「可靠性」
我们在许多介绍零知识证明的文章中都能看到这样三个性质：
Completeness——完备性
Soundness——可靠性
Zero-Knowledge——零知识
但是少有文章深入解释这个特性背后的深意和洞见。
在『系列理解「模拟」』一文中，我们介绍了「模拟器」这个概念。许多介绍文章避而不谈「模拟」，但「模拟」可以说是安全协议中核心的核心，因为它是定义「安全性」的重要武器。
通常，我们定义安全会采用这样一种方式，首先列出一些安全事件，然后说明：如果一个系统安全，那么列出来的安全事件都不会发生。
Ratherthangivingalistoftheeventsthatarenotallowedtooccur,it(thedefinitionofzero-knowledgeproof)givesamaximalistsimulationcondition.
—BoazBarak
借用密码学家BoazBarak的话，翻译一下，「零知识证明」并不是通过给出一个不允许发生的事件列表来定义，而是直接给出了一个最极致的「模拟条件」。
所谓「模拟条件」是指，通过「模拟」方法来实现一个「理想世界」，使之与「现实世界」不可区分；而由于在理想世界中不存在知识，所以可以推导出结论：现实世界满足「零知识」。
我们继续分析下一个交互系统的三个性质：「完备性」、「可靠性」与「零知识」。
可靠性：Alice在没有知识的情况下不能通过Bob的验证。
完备性：Alice在有知识的情况下可以通过Bob的验证。
零知识：Alice在交互的过程中不会泄露关于知识的任何信息。
我们可以看出来「可靠性」和「完备性」有一种「对称性」。可靠性保证了恶意的Alice一定失败，而完备性保证了诚实的Alice一定成功。
「完备性」比较容易证明，只要Alice诚实，Bob也诚实，那么皆大欢喜。这好比，写好一段代码，喂了一个测试用例，跑完通过收工。
我们来想想「可靠性」应该如何定义？这个可靠性的逆否命题是：如果Alice能通过Bob的验证，那么Alice一定有知识。或者说：Alice知道那……个「秘密」！
下面的问题是如何证明Alice知道一个「秘密」？
这好像也很难，对不对？假如我们需要证明一台机器知道一个「秘密」，最简单的办法就是我们在机器的硬盘里，或者内存中找到这个「秘密」，但是这样暴露了秘密。如果这台机器是黑盒子呢？或者是Alice呢？我们没有读心术，猜不到她心里的那个秘密。
方舟基金创始人：公司没有硅谷银行的风险敞口:金色财经报道，方舟基金创始人Cathie Wood：公司没有硅谷银行的风险敞口。ARK有20亿美元的税务损失，可抵消未来的收益。[2023/3/22 13:18:05]
如何定义「ToKnow」？
「零知识」保证了验证者Bob没有能力来把和「知识」有关的信息「抽取」出来。不能抽取的「知识」不代表不存在。「可靠性」保证了知识的「存在性」。
只有「知识」在存在的前提下，保证「零知识」才有意义
本文将探讨「可靠性」和「ToKnow」。
为了进一步分析「知识」，接下来首先介绍一个非常简洁，用途广泛的零知识证明系统——Schnorr协议。这个协议代表了一大类的安全协议，所谓的Σ-协议，而且Schnorr协议扩展也是零知识数据交换协议zkPoD的核心技术之一。
简洁的Schnorr协议
Alice拥有一个秘密数字，a，我们可以把这个数字想象成「私钥」，然后把它「映射」到椭圆曲线群上的一个点a*G，简写为aG。这个点我们把它当做「公钥」。
sk=a
PK=aG
请注意「映射」这个词，我们这里先简要介绍「同态」这个概念。椭圆曲线群有限域之间存在着一种同态映射关系。有限域，我们用Zq这个符号表示，其中素数q是指有限域的大小，它是指从0,1,2,…,q-1这样一个整数集合。而在一条椭圆曲线上，我们通过一个基点，G，可以产生一个「循环群」，标记为0G,G,2G,…,(q-1)G，正好是数量为q个曲线点的集合。任意两个曲线点正好可以进行一种「特殊的二元运算」，GG=2G，2G3G=5G，看起来这个二元运算好像和「加法」类似，满足交换律和结合律。于是我们就用这个符号来表示。之所以把这个群称为循环群，因为把群的最后一个元素(q-1)G，再加上一个G就回卷到群的第一个元素0G。
给任意一个有限域上的整数r，我们就可以在循环群中找到一个对应的点rG，或者用一个标量乘法来表示r*G。但是反过来计算是很「困难」的，这是一个「密码学难题」——被称为离散对数难题。
也就是说，如果任意给一个椭圆曲线循环群上的点R，那么到底是有限域中的哪一个整数对应R，这个计算是很难的，如果有限域足够大，比如说256bit这么大，我们姑且可以认为这个反向计算是不可能做到的。
Schnorr协议充分利用了有限域和循环群之间单向映射，实现了最简单的零知识证明安全协议：Alice向Bob证明她拥有PK对应的私钥sk。
第一步：为了保证零知识，Alice需要先产生一个随机数，r，这个随机数的用途是用来保护私钥无法被Bob抽取出来。这个随机数也需要映射到椭圆曲线群上，rG。
第二步：Bob要提供一个随机数进行挑战，我们把它称为c。
第三步：Alice根据挑战数计算z=ra*c，同时把z发给Bob，Bob通过下面的式子进行检验：
z*G??=?R??c*PK?=?rG??c*(aG)
大家可以看到Bob?在第三步「同态地」检验z的计算过程。如果这个式子成立，那么就能证明Alice确实有私钥a。可是，这是为什么呢？
z的计算和验证过程很有趣，有几个关键技巧：
首先Bob必须给出一个「随机」挑战数，然后Bob在椭圆曲线上同态地检查z。如果我们把挑战数c看成是一个未知数，那么ra*c=z可以看成是一个一元一次方程，其中r与a是方程系数。请注意在c未知的前提下，如果ra*x=r'a'*x要成立，那么根据Schwatz-Zippel定理，极大概率上r=r'，a=a'都成立。也就是说，Alice在c未知的前提下，想找到另一对不同的r',a'来计算z过Bob是几乎不可能的。这个随机挑战数c实现了r和a的限制。虽然Bob随机选了一个数，但是由于Alice事先不知道，所以Alice不得不使用私钥a来计算z。这里的关键：c必须是个随机数。
游戏公司Elyzio完成200万美元融资，Vgames领投:10月10日消息，游戏公司Elyzio完成200万美元Pre-Seed轮融资，以色列投资基金Vgames领投，Shima Capital、Solana Ventures、Paribu Ventures、Nebulae创始人Abdelmounaim Derraz等参投。据悉，Elyzio寻求利用区块链技术构建游戏多元宇宙。（VentureBeat）[2022/10/11 10:30:16]
Bob验证是在椭圆曲线群上完成。Bob不知道r，但是他知道r映射到曲线上的点R；Bob也不知道a，但是他知道a映射到曲线群上的点PK，即a*G。通过同态映射与Schwatz-Zippel定理，Bob可以校验z的计算过程是否正确，从而知道Alice确实是通过r和a计算得出的z，但是又不暴露r与a的值。
还有，在协议第一步中产生的随机数r保证了a的保密性。因为任何一个秘密当和一个符合「一致性分布」的随机数相加之后的和仍然符合「一致性分布」。
零知识
我们这里看一下Schnorr协议如何证明一个弱一些的「零知识」性质——「SHVZK」：
注：这里我们证明的仅仅是SpecialHonestVerifierZero-Knowledge。SHVZK要求协议中的Bob的行为不能不按常理出牌，比如他必须按协议约定，在第二步时，去传送带上取一个新鲜的随机数，并且立即使用。而通常意义上的「零知识」是不会对Bob做任何要求，所以我们说这里是一个弱一些的性质。虽然目前Schnorr协议不能证明完全的「零知识」，但经过添加一些协议步骤，就可以达到完全零知识的目的，细节这里不展开，有兴趣的读者请参考文献。以后我们在讨论Fiat-Shamir变换时，还会再次讨论这个问题。
首先「模拟器」模拟一个「理想世界」，在理想世界中模拟出一个Zlice和Bob对话，Zlice没有Schnorr协议中的知识，sk，而Bob是有公钥PK的。请大家看下图，Bob需要在Schnorr协议中的第二步出示一个随机数c，这里有个额外的要求，就是Bob只能「诚实地」从一个外部「随机数传送带」上拿一个随机数，每一个随机数都必须是事先抛k次「硬币」产生的一个2^k范围内的一次性分布随机数。Bob不能采用任何别的方式产生随机数，这就是为何我们要求Bob是诚实的。
下面演示Zlice如何过Bob：
序幕：请注意Zlice没有关于sk的知识，这时Bob的随机数传送带上已经预先放置了一些随机数。
第一步：Zlice产生一个一致性分布的随机数c，并且利用一个新的「超能力」，将刚刚产生的随机数c替换掉Bob的随机数传送带上第一个随机数。这时候，Bob无法察觉。
第二步：Zlice再次产生一个随机数z，然后计算R'=z*G-c*PK，并将R'发送给Bob。
第三步：这时候Bob会从随机数传送带上取得c，并且将c发送给Zlice。请注意这个c正好就是第一步中Zlice产生的c。
第四步：Zlice将第三步产生的随机数z发送给Bob，Bob按照Schnorr协议的验证公式进行验证，大家可以检查下，这个公式完美成立。
但区别是：
在「理想世界中」，Zlice没有sk；而在「现实世界中」，Alice有sk
在「理想世界中」，z是一个随机数，没有涉及sk；而在「现实世界中」，z的计算过程里面包含sk
天涯社区发布虚拟世界白皮书，推进元宇宙计划:7月8日消息，近日，天涯社区在成都天府新区兴隆湖畔成都科技城召开了“天涯虚拟世界白皮书1.0”发布会，宣布将在自身23年互联网平台运营经验、多年网络社会研究和技术条件准备的基础上，正式推进“元宇宙”计划，实现多年以来构建虚拟现实相结合的超级网络人生游戏平台理想。据悉，早在今年3月，天涯社区就以“灵境”为名组建了“成都灵境网络科技有限公司”，该公司将承载天涯虚拟世界的运营。（新浪新闻）[2022/7/8 1:59:59]
在「理想世界中」，Zlice使用了超能力，替换了Bob的随机数；而在「现实世界中」，Alice看不到Bob的随机数传送带，也无法更改传送带上的数字
这里请大家思考下：Schnorr协议中，Bob在第二步发挑战数能不能和第一步对调顺序？也就是说Bob能不能先发挑战数，然后Alice再发送R=r*G。
答案是不能。
如果Alice能提前知道随机数，那么Alice就可以按照模拟器Zlice做法来Bob。
再遇模拟器
其实，「可靠性」和「零知识」这两个性质在另一个维度上也是存在着一种对称性。可靠性保证了恶意的Alice一定失败，零知识保证了恶意的Bob一定不会成功。有趣地是，这种对称性将体现在模拟出来的「理想世界」中。
我们分析下可靠性这个定义：Alice没有知识导致Bob验证失败。它的逆否命题为：Bob验证成功导致Alice一定有知识。
我们再次求助模拟器，让他在可以发挥超能力的「理想世界」中，去检验Alice的知识。
再次，请大家设想在平行宇宙中，有两个世界，一个是叫做「理想世界」，另一个叫做「现实世界」。理想世界有趣的地方在于它是被「模拟器」模拟出来的，同时模拟器可以在理想世界中放入带有超能力的NPC。这次把Alice的两个分身同时放入「理想世界」与「现实世界」。
假设「你」扮演Bob的角色，你想知道和你对话的Alice是否真的是「可靠的」。于是把你放入「理想世界」，借助一个具有超能力的NPC，你可以把对面的Alice的知识「抽取」出来。
W...hat？我们不是刚刚证明过：协议是零知识的吗？零知识就意味着Bob抽取不出任何的「知识」碎片。这里敲黑板，「零知识」是对于「现实世界」而言的。我们现在正在讨论的是神奇的「理想世界」。
重复一遍，在「理想世界」中，你可以借助一个有超能力的NPC来抽取Alice的知识，从而可以保证「现实世界」中的Alice无法作弊。可以想象一下，一个作弊的Alice，她肯定没有知识，没有知识也就不可能在「理想世界」中让NPC抽取到任何东西。
然而在「现实世界」中，你无法借助NPC，当然也就看不到Alice的知识，也就不会和「零知识」性质冲突。因为两个世界发生的事件是「不可区分」的，我们可以得到这样的结论：在「现实世界」中，Alice一定是存在知识的。
整理一下思路：如何证明在一个交互会话中Alice不能作弊呢？我们需要为这个交互会话定义一个「模拟算法」，该算法可以模拟出一个「理想世界」，其中有一个特殊的角色叫做「抽取器」(Extractor)，也就是我们前面说的NPC，它能够通过「超能力」来「抽取」Alice的知识，但是让对方「无所察觉」。
注意，超能力是必不可少的！这一点在『系列理解「模拟」』有解释，如果模拟器在没有超能力的情况下具备作弊能力，那相当于证明了协议「不可靠」。同样地，如果「抽取器」在没有超能力的情况下具备抽取信息能力，那相当于证明了协议不零知。
Phantom已支持在浏览器扩展应用内将NFT直接上架Magic Eden:6月23日消息，Solana生态钱包Phantom已支持在浏览器扩展钱包应用内直接将NFT上架至NFT交易市场Magic Eden，移动端应用也即将支持该功能。此外，在移动端应用支持该功能后，用户还将在NFT收到出价或卖出时收到提示。[2022/6/23 1:26:13]
最后一点，超能力是什么？这个要取决于具体的交互系统的证明，我们接下来就先拿我们刚刚讲过的Schnorr协议切入。
ProofofKnowledge：「知识证明」
我们来证明一下Schnorr协议的「可靠性」，看看这个超能力NPC如何在「理想世界」中把Alice私钥抽取出来。而这个「超能力」，仍然是「时间倒流」。
第一步：Alice选择一个随机数r，并且计算R=r*G，并将R发给「抽取器」
第二步：抽取器也选择一个随机的挑战数c，并且发给Alice
第三步：Alice计算并且回应z，然后抽取器检查z是否正确
第四步：抽取器发现?z没有问题之后，发动超能力，将时间倒回第二步之前
第五步：抽取器再次发送一个不同的随机挑战数c'给Alice，这时候Alice回到第二步，会有一种似曾相识的感觉，但是无法感知到时间倒回这个事实
第六步：Alice再次计算了z'，然后发给抽取器检查
第七步：这时候抽取器有了z和z'，就可以直接推算出Alice所拥有的私钥a，达成「知识抽取」
到这里，「可靠性」就基本证明完了。大家是不是对可靠性和零知性的「对称性」有点感觉了？
总结一下：「抽取器」在「理想世界」中，通过时间倒流的超能力，把Alice的「知识」完整地「抽取」出来，这就保证了一个没有知识的Alice是无法让抽取器达成目标，从而证明了「可靠性」。
注：并不是所有的可靠性都必须要求存在抽取器算法。采用抽取器来证明可靠性的证明系统被称为「ProofofKnowledge」。
解读ECDSA签名攻击
在区块链系统中到处可见的ECDSA签名方案也是一个朴素的零知识证明系统。椭圆曲线数字签名方案ECDSA与Schnorr协议非常接近，基于Schnorr协议的签名方案发表在1991年的『密码学杂志』上。1991年，正值美国国家标准局选择数字签名算法，优雅的Schnorr签名方案居然被申请了专利，因此NIST提出了另一套签名方案DSA，随后这个方案支持了椭圆曲线，于是被称为ECDSA。中本聪在构思比特币时，选择了ECDSA作为签名算法，但是曲线并没有选择NIST标准推荐的椭圆曲线——secp256-r1，而是secp256-k1。因为江湖传言，NIST可能在椭圆曲线参数选择上做了手脚，导致某些机构可以用不为人知的办法求解离散对数难题，从而有能力在「现实世界」中具备超能力。有不少人在怀疑，也许当年中本聪在设计比特币时，也有这种考虑，故意选择了secp256-k1这样一条貌似安全性稍弱的曲线。
我们拆解下ECDSA签名，用交互的方式定义一个类似ECDSA的认证方案，交互见下图。
第一步：Alice仍然是选择一个随机数k，并将k映射到椭圆曲线上，得到点K，然后发送给Bob
第二步：Bob需要产生两个随机数，c和e，然后交给Alice
第三步：Alice计算s，并且发送给Bob，他来验证s的计算过程是否正确
O3跨链钱包已集成SKALE Network:6月4日消息，O3 Labs宣布O3跨链钱包已集成SKALE Network。
此前报道，今年2月，以太坊侧链SKALE Network宣布将进行1亿美元的生态系统激励计划，以激励开发人员在其平台上进行开发工作。SKALE的首批500万美元赠款将投资P2E游戏和元宇宙领域的项目。[2022/6/5 4:02:47]
注：对熟悉ECDSA签名方案的读者，这里略作解释，Bob产生的c对应被签消息的Hash值Hash(m)，而e则是由一个转换函数F(K)来产生。其中F(.)是取椭圆曲线上的点的x坐标经过(modq)得到。
江湖上流传着一个说法：ECDSA签名方案有个严重的安全隐患，如果在两次签名中使用了同一个随机数，那么签名者的私钥将会暴露出来。其实Schnorr签名方案也有同样的问题。
当年Sony?PlayStation3的工程师在调用ECDSA库函数时，本来应该输入随机数的参数位置上，却传入了一个常数。熟悉密码学的黑客们发现了这个严重的后门。2011年1月，神奇小子Geohot公开发布了SonyPS3的主私钥，这意味着任何用户都可以轻松拿到游戏机的root权限。Sony随后大为光火……
如果Alice在两次交互过程中使用了同一个K，那么Bob可以通过发送两个不同的c和c'来得到s和s'，然后通过下面的公式算出私钥a：
k?=?(c?-?c')/(s?-?s')a?=?(k?*?s?-?c)/e
那么我们应该怎么来看这个「安全后门」呢？大家想想看，这个安全后门和我们前面证明过的Schnorr协议的可靠性证明几乎一模一样！这个算法正是ECDSA认证协议的「可靠性」证明中的「抽取器」算法。只不过在可靠性证明中，为了让Alice使用同一个随机数k来认证两次，「抽取器」需要利用「时间倒流」的超能力。
但是在SonyPS3系统中，随机数被不明所以的工程师写成了一个固定不变的值，这样相当于直接赋予了黑客「超能力」，而这是在「现实世界」中。或者说，黑客在不需要「时间倒流」的情况下就能实现「抽取器」。
提醒下，不仅仅是随机数不能重复的问题。而是随机数必须是具有密码学安全强度的随机数。
设想下，如果随机数r是通过一个利用「线性同余」原理的伪随机数生成器产生，虽然r的值一直在变化，但是仍然不能阻止「知识抽取」。假设线性同余算法为r2=d*r1e(modm)，还回到Schnorr协议的第三步：
1:?z1?=?r1??c1*a2:?z2?=?r2??c2*a
如果攻击者让Alice连续做两次签名，那么将r2代入?r1之后，就出现了两个线性方程求解两个未知数(r1,a)的情况，z1,z2,c1,c2,d,e对于攻击者是已知的，这个方程组只用初中数学知识就可以求解。
请注意，这并不是Schnorr协议的「设计缺陷」，恰恰相反，这是Schnorr协议设计比较精巧的地方，它从原理上保证了协议的可靠性。类似技巧在密码学协议中频繁出现，达到一目了然的「简洁」。但是也不得不说，如果不清楚协议的内在机制，尤其是区分不清楚「理想世界」与「现实世界」，使用者很容易引入各种花式的「安全漏洞」。
作为一个能写出安全可靠软件的负责任的码农，我们需要了解哪些？彻底理解安全协议的设计机制当然是最好的，但是绝大多数情况下这是不现实的。一般来说，我们把各种密码学工具当做「黑盒」来用，但这可能是不够的，我们最好能了解下：
「安全定义」是什么？
「安全假设」到底是什么？
「理想世界」中的「超能力」到底是什么？
脑洞：我们生活在模拟世界中吗
第一次读懂「模拟器」时，我第一时间想到的是电影『黑客帝国』。我们生活所在「现实世界」也许是某一个模拟器模拟出来的「理想世界」，我们所看到、听到的以及感知到的一切都是被「模拟」出来的。在「现实世界」里，我们活在一个母体中。然而我们并不能意识到这一点。
早在春秋战国时期，庄子也在思考类似的问题：
昔者庄周梦为胡蝶，栩栩然胡蝶也，自喻适志与，不知周也。俄然觉，则蘧蘧然周也。不知周之梦为胡蝶与，胡蝶之梦为周与？周与胡蝶，则必有分矣。此之谓物化。——《庄子·齐物论》
通俗地解释下：庄子有一天睡着了，梦见自己变成了一只蝴蝶，翩翩起舞，醒来之后发现自己还是庄子，在梦中，蝴蝶并不知道自己是庄子。于是庄子沉思到底是他梦中变成了蝴蝶，还是蝴蝶梦中变成了庄子呢？如果梦境足够真实，……
「缸中之脑」是美国哲学家GilbertHarman提出的这样一个想法：一个人的大脑可以被放入一个容器里面，然后插上电线，通过模拟各种电信号输入，使得大脑以为自己活在真实世界中。
这个想法源自哲学家笛卡尔的《第一哲学沉思集》，在书中他论证我们应该怀疑一切，需要逐一检验所有人类的知识，数学，几何，以及感知到的世界。然而他发现除了「我思故我在」之外，所有的知识都可能不靠谱，因为我们的大脑很可能被一个具有「超能力」的EvilDemon所。
2003年牛津大学的哲学教授NickBostrom郑重其事地写了一篇论文『我们生活在计算机模拟世界中吗？』。认为以下三个事实中，至少有一个成立：
人类文明彻底灭绝。
人类文明已经到达可以完全模拟现实世界的科技水平，但是处于某种原因，没有一个人愿意去创造出一个新的模拟世界，充当上帝的角色。
我们现在的人类文明就生活在一个模拟世界中。
硅谷企业家ElonMusk在一次公开采访中，谈到「我们生活在基础现实世界」的概率只有「十亿分之一」。也就是说，他认为我们生活在一个电脑游戏中，在模拟世界之外，有一个程序员，他开发并操纵了这个世界，我们每个人都是一个游戏角色。
在玩腻越狱iPhone和自动驾驶之后，神奇小子Geohot在今年三月份的「西南偏南」大会上做了一个题为「JailbreakingtheSimulation」的演讲。他认为，我们被生活在一个模拟世界中，所谓的上帝就是外部世界里活蹦乱跳的码农们，他们编程创造了我们的「现实世界」，当然，他们可能启动了不止一个世界副本。然而，他们可能也生活在一个外层「模拟世界」中。
如果我们确实生活在模拟世界中，或许我们可以在地球的某个地方找到一个后门——「SimulationTrapdoor」，从而获得「模拟器」的超能力，抽取出不可思议的「秘密知识」。
如果我们的世界的确是被程序模拟出来的，这个程序也许会有Bug，如果有Bug存在，说不定我们可以利用这个Bug进行越狱，跳出「理想世界」，到达外面一层的世界中，与可爱的码农上帝聊一聊。
这是在开玩笑吗？下面摘自自知乎的一个段子：
问题：「如果世界是虚拟的，有哪些实例可以证明？」。
回答：
为什么宏观上丰富多彩，但是微观的基本粒子却都是一模一样的？这正和图片富多彩，但是像素是一模一样的一回事
为什么光速有上限？因为机器的运行速度有限
为什么会有普朗克常量？因为机器的数据精度有限
为什么微观粒子都是几率云？这是为了避免系统陷入循环而增加的随机扰动
为什么有泡利不相容原理？看来系统采用的数据组织是多维数组
为什么量子计算机运行速度那么快，一瞬间可以尝试所有可能？因为这个本质上是调用了宿主机的接口
为什么会有量子纠缠？这实际上是引用同一个对象的两个指针
为什么会有观察者效应？这显然是lazyupdating
为什么时间有开端？系统有启动时间
未完待续
设计一个密码学协议就好像在走钢丝，如果你想同时做到「零知识」和「可靠性」就意味着既要让协议内容充分随机，又要保证「知识」能够参与协议的交互。如果协议没有正确设计，亦或没有正确工程实现，都将导致系统安全性坍塌。比如可能破坏了零知性，导致「知识」在不经意间泄露；或者也许破坏了可靠性，导致任何人都能伪造证明。而且这种安全性，远比传统的代码底层机制漏洞来得更加严重，并且更难被发现。严格数学论证，这似乎是必不可少的。
我们的世界真的是某个「三体文明」模拟出来的吗？不能排除这个可能性，或许，我们需要认真地重新审视自己的各种执念。不过那又怎么样呢？至少自己的「思想」是真实的。
Ifyouwouldbearealseekeraftertruth,itisnecessarythatatleastonceinyourlifeyoudoubt,asfaraspossible,allthings.?如果你是一个真正的真理探求者，在你人生中至少要有一次，尽可能地质疑所有的事情。???——笛卡尔
本文作者郭宇，文章首发于微信公众号安比实验室
致谢：特别感谢ShengchaoDing,JieZhang，YuChen以及安比实验室小伙伴们(p0n1,even,aphasiayc,Vawheter,yghu,mr)的建议和指正。
参考文献
zkPoD:区块链，零知识证明与形式化验证，实现无中介、零信任的公平交易.安比实验室.2019.
Hoffstein,Jeffrey,JillPipher,JosephH.Silverman,andJosephH.Silverman.Anintroductiontomathematicalcryptography.Vol.1.NewYork:springer,2008.
Schwartz–ZippelLemma.Wikipedia.?https://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz–Zippel_lemma
Damg?rd,Ivan."OnΣ-protocols."LectureNotes,UniversityofAarhus,DepartmentforComputerScience(2002).
Schnorr,Claus-Peter."Efficientsignaturegenerationbysmartcards."Journalofcryptology4.3(1991):161-174.
Brown,DanielRL."Genericgroups,collisionresistance,andECDSA."Designs,CodesandCryptography35.1(2005):119-152.
笛卡儿,徐陶.第一哲学沉思集.九州出版社;2008.
Bostrom,Nick."Arewelivinginacomputersimulation?."ThePhilosophicalQuarterly53.211(2003):243-255.
NickStatt."Comma.aifounderGeorgeHotzwantstofreehumanityfromtheAIsimulation".Mar9,2019.https://www.theverge.com/2019/3/9/18258030/george-hotz-ai-simulation-jailbreaking-reality-sxsw-2019
知乎."如果世界是虚拟的，有哪些实例可以证明？".2017.https://www.zhihu.com/question/34642204/answer/156671701
郑重声明： 本文版权归原作者所有， 转载文章仅为传播更多信息之目的， 如作者信息标记有误， 请第一时间联系我们修改或删除， 多谢。