作者：DeFi研究员VincentLu
Pechtl的模型
1995年，Pechtl提出离散时间转换认购期权，如果在Δt内，资产价格超过了行权价X，则投资者可以在期权到期的时候获得这段时间的收益为AΔt，同理，在离散时间认沽期权中，在某个Δt内，资产价格低于了行权价X，则投资者可以在期权到期的时候获得这段时间的收益为也为AΔt。
Pechtl根据理论和BS模型，他计算出这种认购期权的定价可以用如下算式来表达：
中币（ZB）市场研究报告：比特币价格或将迎来重大修正:据中币（ZB）市场研究报告显示，比特币价格在上周周日的小幅下跌后，昨日重新测试了24149美元的历史新高。从技术成交量指标看，比特币价格成交量下跌，是一个看跌信号。技术上看，BTC价格是在试图创造一个头肩格局的市场结构；基于价格走势，空军正在阻止比特币价格突破23342.44美元支撑位。未来一天，比特币价格将面临23342.44美元的支撑位，如果跌破这一水平，比特币将面临下行的重大修正。此外，多头还将面临23342.44美元的阻力位。此外，该报告还对XRP做出了一周技术分析。更多详情请查阅中币（ZB）官方发布的研究报告。[2020/12/22 16:07:55]
认沽期权的定价可以用如下算式来表达：
中币（ZB）市场研究报告：比特币将稳定在11400美元左右:据中币（ZB）市场研究报告显示，BTC最近的哈希率达到新高，代表比特币矿商对价格前景充满信心。报告中分析，从矿商收入随五月份比特币收益减半一同减半之后，哈希率反而增长了近40%的情况下来看，矿商对采矿业务的经济可行性越来越有信心。该报告预测比特币将在短期内试探12000万美元的心理关口，而下行方面的支撑位为11000万美元，之后是2月高位10500美元。更多详情请查阅中币（ZB）官方发布的研究报告。[2020/10/15]
中币（ZB）市场研究报告：美国白宫提案成刺激比特币价最大因素:据中币（ZB）市场研究报告显示，上周五白宫政府提出的1.8万亿美元的经济刺激方案，变相刺激了比特币市场。报告指出这一提案加大了比特币价格在周六时的上升趋势，使其价格上升至了更接近11500美元的价格点，并达到了自9月2日以来的最高水平。此外，该研究报告还罗列了三个原因来解释为什么这一提案会对比特币造成如此影响。更多详情请查阅中币（ZB）官方发布的研究报告。[2020/10/12]
其中S为现价，X为行权价，波动率为σ
在这两个算式中，n=T/Δt，如果期权合约已经生效了一段时间，则需要在期权定价公式中增加一项：ΔtA·exp(-rT)·m，其中m是已经满足时间转换条件的时间单位数量
研究报告：超六成的韩国釜山公司仍然对区块链感到困惑:韩国釜山研究机构一项新的调查发现，超过六成的釜山公司仍然对区块链感到困惑。62%的公司回答说“不知道”区块链是什么，91%的公司表示没有采用区块链技术的计划。更令人担忧的是，对釜山从事区块链相关业务的26家公司进行的另一项调查发现，近四分之一的公司抱怨监管障碍。超过23%的受访公司表示，监管是他们面临的最大困难，19%抱怨缺乏政府政策支持。近20%的受访者表示，他们不确定其解决方案的销售能力，超过15%的受访者抱怨缺乏技术资源和人力资源。还有12%的人抱怨资金不足。报告得出结论，沙盒需要通过“建立有效的区块链生态系统”来获得帮助，其中需要提供更多培训计划和更多与区块链相关的公司。（Cryptonews）[2020/9/17]
基于Pechtl模型的改动
我们对Pechtl的理论做一点小改动，如果某投资者能在认购期权价格超过行权价格的时候就获得收益，并且收益的计算方式为*Δt，例如，Alice从Bob那里买了一个行权价格为110美元的认购期权，到期时间是1年。在这年里，价格在11月份突破了行权价，到达了120～130美元，而到了十二月份，价格下跌，跌破了90美元，虽然到期时间来临时，期权价格仍然低于110美元，但是Alice仍然可以在11月获得期权高于行权价的那部分收入。
考虑到在Pechtl模型中，收益为到期日后才获得，所以在估算价格中，会有折现因子exp(-rT)，其中r为无风险利率。那如果当时就行权，在第i个周期内，获得概率的可能性应为：
我们的认购期权模型中，另一个改动是超过行权价，投资者获得的收益为??Δt，而不是像Pechtl模型中的固定常数A，在这种情况下，我们必须修订Pechtl的公式，应该用每个??并累加。在数学上就是积分的形式：
模型中的另外一个改动就是：购买认购期权的投资者是立即获得收益，而不是等到到期日之后才会获得，因此需要把每天的收益折现到当前。考虑到无风险利率是r，那么每天的收益即为r/365，第i天的现值应该为：
把所有的Ci累加，就得到了这种期权的定价方式：
Python模拟
我们用Python模拟了这种认购期权的定价方式：假设现价为100美元，无风险利率为6%，波动率为26%，我们研究这种认购期权价格C和到期天数n之间的关系。
这种情况很符合日常感觉，如果到期天数长，风险增加，价格超过行权价的可能性也增加了。因此认购期权就贵了，但是增长幅度变慢了，如果到期天数无限大，价格应该会收敛到一个定值。
永续时间转换期权的定价方式
在上式中令n趋近于无穷大，我们可以得到这种期权的定价模型为：
原文链接：https://medium.com/@Vincent.R.Jaipul/perpetual-timer-option-pricing-8bd9f4139e79
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