前言
上一篇文章中，我们在"F_101"上找到了17个点满足椭圆曲线方程，他们构成一个循环。那么在"F_101"中元素作为坐标的点中还有没有其他的点也满足方程呢？换句话说，上篇文章列出的17个点是不是就是满足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以验证(3,38)也满足椭圆曲线的方程，但是他不是上面17个点中的一个。另一个子群
实际上，我们甚至可以通过将(6,44)作为生成元来得到一个102个元素的循环群，这个循环群涵盖了曲线在"F_101"上的全部点。但是，曲线在"F_101"上的循环周期为17的循环群却只有中篇列出的一个，也就是说在"F_101"上讨论的话，循环周期为17的点已经被我们全部找到了。
在中篇中，我们也提到数域的扩张会直接影响我们需要讨论的点的多少，那么如果我们对"F_101"进行扩张，是否能够得到更多的循环周期为17的点呢？METASTATE的博客中给出这样一个例子，我们将用这个例子说明这个命题的真假。首先我们选择满足j^2mod17=15的j用于对"F_101"的扩张，过程就像我们上一篇文章中进行的那样，扩张后的域记为“F_101的二次扩域”。在这个扩张下，我们可以找到另一个循环周期为17的群，下面的表格列出这个群的全部元素：
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我们随机选择(66,0+23j)这个元素来验证其满足曲线方程：
左侧：y^2mod101=^2mod101=23×15mod101=42
右侧：x^3+3mod101=41^3=3mod101=42
左侧等于右侧，验证完毕。
在发现通过域扩张后还能找到更多的17阶点后，我们不禁会想：
OKEx已完成资金密码服务升级:据官网公告，OKEx已于5月22日完成资金密码服务升级。同时，币币交易和杠杆交易时将不再需要输入资金密码，法币交易时将由风控系统判断是否要输入资金密码。本次升级只涉及交易功能，其它场景(如提币)的资金密码服务不受影响，可照常使用。[2020/5/22]
继续对”F_101的二次扩域”进行扩张，能否找到更多的17阶点呢？
或者是：为了找到全部的17阶点，我们需要对F_101进行几次扩张呢？
嵌入度其实就是描述这个问题的一个概念。E是定义在F_101上的椭圆曲线，我们已经有一个包含n=17个点的子群，我们称这个子群的嵌入度是满足17整除q^k-1的最小的k。在这个例子中，k=2。计算嵌入度的价值在于事实证明，当对F_101进行扩张以期其上的椭圆曲线包含全部17阶点时，最小的扩张次数就等于嵌入度。也就是说在”F_101的二次扩域”上，我们已经找到全部的17阶元素。
Millier循环
下面给出计算双线性映射的Millier算法，当计算e(P,Q)时，该算法根据P的坐标创建一个二元多项式，然后将P坐标的x和y分量带入求值：
动态 | “密码朋克”中的巫术爱好者正在转向使用加密货币:“密码朋克”（Cypherpunk）中的巫术爱好者正在转向比特币等加密货币，以保持和激发人们对巫术仪式的兴趣。根据CoinDesk的一篇报道，一些自称为密码朋克的女巫正在使用加密货币作为主流平台的替代品。以太坊支持者和Future Witch Facebook小组的创始人Claire Gallant表示：“我认为巫术和加密是密不可分的。”Gallant是一家为加密研究初创公司Open Privacy筹集资金的组织的成员，她表示加密技术可以增强女巫的能力。（CryptoGlobe）[2020/2/15]
METASTATE的博客中作者已经计算了e((1,2),(90,82u))点的结果为97+89j。我们给出另外一个计算的例子，并且稍后通过对比这两个例子的结果说明双线性对的一些属性。
声音 | 国家密码管理局李国海：依法推进商用密码创新发展:近期， 国家密码管理局商密办主任李国海就商用密码领域如何贯彻落实密码法做了题为《全面贯彻落实密码法，依法推进商用密码创新发展》专题报告，他指出，密码法依法确立商用密码的工作原则、管理体制、分类方法和基本制度，是商用密码科学管理、产业发展、规范应用、国际合作的根本遵循，是商用密码创新发展的有力保障，对提升密码管理科学化、规范化、法治化水平，促进密码技术进步、产业发展和规范应用，具有重要意义。商用密码工作原则是：统一领导、分级负责，创新发展、服务大局、依法管理、保障安全。商用密码管理模式的重塑，体现了党管密码原则，体现了确保安全与创新发展的统一，体现了党中央、国务院减政放权、放管结合、优化服务的要求，体现标准引领、强化监督的原则。[2019/11/10]
动态 | Facebook 约 2 至 6 亿用户的密码以未加密的形式存储:网络信息安全博客 Krebs on Security 援引匿名的 Facebook 高级职员称，Facebook 正在调查 2012 年是否将 2 至 6 亿包括账户密码等用户信息存储在未加密的文档中，而 Facebook 的 2 万余名员工均有权限查看。《华尔街日报》报道称，Facebook 表示公司员工以外的人无法看到此文档，目前没有员工曾泄露或者是恶意使用这些数据。此外，Facebook 表示将提醒这类用户查看他们的账户状态。[2019/3/22]
其中f_17是二元的多项式，通过一个称为Millier循环的过程我们可以生成该多项式，这个过程类似于计算指数运算时的mul-and-square操作。但是为了更直观的展示原理，我们选择根据上文定义直接展开计算f_17，这会增加一些计算量。
因此我们需要计算
的表达式。通过查询上一篇文章的列表我们可以找出P，±2P，±4P，±8P,±16P的值,其中P=(12，32)=5G：
接下来我们来计算这些直线的方程：
这样我们已经可以计算f_17的结果：
最后我们计算(81+52j)^600
完全解决curve101配对问题
实际上，我们可以计算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值为7+28j。这样我们能够完全掌握GT中全部的元素：
可以看到GT也是一个循环群，他其实是在“F_101的二次扩域”上满足方程x^17=1的17个根。根据该表我们不加以计算就可以知道这个配对的任何一个计算结果，例如e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2),因此其值就是上表的第5个元素：93+25j。我们之所以能够完全解决curve101的配对问题，是因为curve101的一系列参数决定其足够简单，而实际零知识证明算法中使用的配对就要复杂很多。例如一些标准中要求其配对曲线的嵌入度至少为12，这意味着GT的元素至少是基础素域的12次扩张！如果其素域特征为常见的256位，那么为了表示一个GT元素就需要256*12/8=384字节的大小。对于任何一个实际使用的曲线，其计算复杂度和规模都使我们当前绝无可能计算出其映射表，这也是离散对数问题困难的所在。
通过系列文章，我们计算了一个简单的配对曲线，加深了对双线性映射的理解。后续，我们继续使用这个配对曲线来讲解和演示零知识证明中Groth16算法的过程和原理，敬请期待。
乔沛杨趣链科技基础平台区块链底层密码学小组
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