我的目的不是为了帮大家温习数学，而是探索以下重要且有趣的话题：
1、聪明的试错，是一个逆向复利的过程，它可以帮助我们以指数增长的速度，逆向逼近正确答案；
2、绝大多数成就的取得，都是通过复利效应实现的。但是，复利很难。本文我将讲述复利的双向测试，为靠谱的复利搭建一个可计算的脚手架；
3、两头求极限，才是马斯克的“第一性原理”中最重要但却被忽略的部分。
4、凯利公式给出了一个最大收益与下注比例之间的数学关系。该公式是在基于概率的复利公式的基础上，通过取对数然后求导得出的；
5、既然说到了对数，自然要说一下神奇的自然对数e，以及自然增长的极限。
以可感知的方式来重温对数，能帮助我们从底层理解这个世界的算法。
log10(10)
《鱿鱼游戏》中的第五关，是“跳玻璃桥”。
有16位选手按照顺序过一条玻璃桥。玻璃桥由18节构成，每节有左右两块玻璃，一边是普通玻璃，一边是强化玻璃。
游戏规则是：参赛者必须正确分辨出普通玻璃和强化玻璃，若踩到普通玻璃就会当场摔死，一路踩到强化玻璃才能过关。
二选一，即使靠蒙，胜率也高达50%。
然而，虽然每一节的变化只有2，两节的变化也就是22，连续18节的变化是2的18次方，却高达262144种。
这是一个指数级的增长。
要想连续18次都蒙对，成功的概率是分之一，也就是约为30万分之一，约为死于从楼梯上摔下来概率的二分之一。
然而，在《鱿鱼游戏》里，最终有三个人过关，除了靠玻璃厂师傅肉眼辨别出来的较少环节，主要都是以人命为代价蒙出来的。
理论上，如果人们不自相残杀，即使是靠蒙，活下来的人也应该多于三人。
为什么一个成功率只有近三十万分之一的游戏，仅仅靠十几个人就能打通关呢？
因为这是18个串联在一起的二选一，18个人用命去蒙，相当于一个逆向的指数效应，可以用非常有限的测试，来找到262144种可能性中唯一正确的可能性。
我称之为：逆向复利。
如各位聪明读者都知道但可能早已忘记的数学，玻璃桥游戏的巨大不确定性是来自指数增长，而消除不确定性则是靠指数函数的反函数：
对数函数。
log10(100)
先来玩儿一个简单游戏：
已知有两个抽屉，各有一黑一白两个盒子，一共四个。其中一个盒子里有颗大钻石，猜中了就归你。你可以问任意问题，主持人必须回答，但只能说“是”或者“不是”。请问你最少要问几次？
也许你在宿舍生活时，玩儿过类似的游戏：通过不断问问题，获得“是或不是”的反馈，然后一步步解出谜题。
答案是你需要问两次：
第一次：是在左边的抽屉里吗？
第二次：是在黑色的盒子里吗？
这是一个简化版的“过玻璃桥”游戏。
有算法的瞎蒙，有时候并不蒙瞎。
近300年前，牧师贝叶斯设计了一个思想实验：
他背对一张桌子坐着，桌子上有个白球，他并不知道白球的位置。
然后，他让助手随机往桌面上扔黑球，黑球落在桌子上的位置完全是不确定的；
接下来，每放完一个，他就问助手白球相对于黑球的方位。比如，助手说白球在黑球的右边，他就猜也许白球在靠右一点儿的位置；
然后，助手又随手扔了一个黑球，并且告诉他这个白球是在黑球的左边。于是他更新了猜想，可能白球并没有那么靠右；
波卡周报：Aventus赢得Polkadot第26次插槽拍卖；Phala到以太坊的双向转账已上线:9月11日消息，根据PolkaWorld发布的波卡周报，重要消息如下：
-Aventus赢得Polkadot第26次插槽Auction。
-Polkadot第27次插槽Auction将在9月11日凌晨4:12启动，目前活跃的Crowdloan还有Crust和OmniBTC。
-Polkadot 72号公投已经通过并执行，该议案将Polkadot runtime升级到v9270。
-Polkadot 73号公投正在投票中，该议案提议将Statemint runtime升级到v9270。
-Polkadot国库资助的Unbounded已经上线。
-Snow Network赢得Kusama第51次插槽Auction。
-Kusama理事会投票通过Motion542，该议案旨在为Bounty#3提供超出成本的资金。这个赏金任务是由Litentry提出，旨在提供一个签名解决方案，以使用Beacon Network连接DApp和移动钱包。赏金包括Beacon SDK与基于Substrate的网络的集成以及iOS和Android钱包的集成。总体而言，赏金由Beacon团队、Fearless Wallet团队和Nova Wallet已经在2022年6月完成。
-Phala完成3800万PHA从以太坊到Phala智能合约桥Subbridge的迁移。
-从Phala到以太坊的双向转账现已正式上线。
-Parity的核心开发者将于12月12日在柏林参加Berlin Blockchain Week柏林区块链周，届时将分享有关Polkadot和Substrate的最新消息，还将在Parity柏林的办公室举办HackerDay和如何创建Unstoppable应用程序的workshop。[2022/9/11 13:23:12]
就这样，扔的黑球越多，他就越能逼近白球真正的位置。
这个“无聊”的游戏靠谱吗？
该实验中，仅用模糊的相对关系，就能逐步推断出结果。关于这一点，我会另外在一篇《逆风而行》的文章中再谈及。
事实上，贝叶斯的这个思想实验，是对休谟的因果怀疑论的反击。结果，产生了一种“由果推因”的逆概率计算，迄今仍在深刻改变这个世界。
也许你会觉得，这种瞎猜，要猜到什么时候？
和过玻璃桥一样，贝叶斯的计算，也有一种逆向的指数效应，能够快速逼近白球的真正位置。
log10(1000)
在过玻璃桥游戏里，每一节的变化是2，连续18节的变化，就是2的18次方，这是一个指数运算。
计算结果，是262144种变化。
那么，如果我们只知道一共有262144种变化，但不知道玻璃桥有多少节，该如何计算呢？
这就是指数运算的逆运算：对数运算。
如果a的x次方等于N，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。
对数的意思是：用几个数与自己乘在一起会得到另一个数？
例如2的三次方是8。那么反过来，多少个2相乘可以得到8？
通过对数运算可知，log2(8)=3。
在过玻璃桥的游戏里，2的18次方等于262144，那么：log2(262144)=18。
指数运算，能够迅速将一个数字变得非常大；
BTCST官网已正式上线BTCST-BEP20/BTCST-TRC20代币双向一键兑换功能:据官方消息，标准算力集团Standard Hashrate Group(“SHG”)于3月22日16:00（SGT）正式启动BTCST-TRC20协议代币Bridge。此次BTCST-TRC20 Bridge是在保持代币总供应量1,500万枚和整体估值不变的情况下，将占总发行量1%的BTCST-BEP20（即15万枚BTCST）1:1双向兑换为BTCST-TRC20。此次BTCST-TRC20将在合约地址TFVge5Nb6or8cpdtdwPuXSGqLHpj3PM9Rp生成。
Binance Launchpool项目BTCST（Bitcoin Standard Hashrate Token）即将于今晚九点(SGT)正式上线SUN.io，开启 BTCST-TRX LP流动性挖矿，参与波场TRON世纪挖矿就可以把BTCST-BEP20兑换成BTCST-TRC20。用户还可以通过BTCST官网btcst.finance dApp页面使用BTCST-BEP20/BTCST-TRC20代币双向一键兑换功能。
波场TRON创始人兼BitTorrent CEO孙宇晨对BTCST加入波场TRON生态表示：“我们很高兴地欢迎币安LaunchPool首个比特币标准算力币BTCST加入波场TRON生态。我们将和BTCST在波场TRON链上开创去中心化BTC挖矿新时代。”[2021/3/22 19:07:27]
对数运算，能够迅速将一个数字变得非常小。
二者放在一起，是一种双向的“复利效应”。
log10(10000)
关于不怕失败，主动试错，已经是老生常谈。
《霍乱时期的爱情》里写道：
“趁年轻，好好利用这个机会，尽力去尝遍所有痛苦，这种事可不是一辈子什么时候都会遇到的。”
为什么要趁年轻犯错呢？什么是聪明的犯错呢？
记得有位科学家说过：所谓专家，就是在一个极小的范围内犯过了所有的错误。
以下图为例：
你要找寻图形中藏宝的小方块，即使你只能像过玻璃桥那样去试，一次猜一半，你也会以非常快的速度逼近宝藏。
但是，要有以下前提：
1、有边界。即使逆向的指数效应很强大，但也很难解决没有边界的问题；
2、有算法。例如过玻璃桥看似残酷，但其实是由一连串二选一的问题组成，数学上可以计算，能够不断逼近答案；
3、有反馈。猜对玻璃，活命；猜错玻璃，死掉。但是对于整个系统而言，假如只是一个游戏，其实猜对或者猜错，就信息的传递而言，是等价的；
4、能遍历。参与游戏的人不仅要犯掉所有的错误，还要能够在犯错之后活下来。对创业者而言就是在钱花光之前快速犯错然后找到活路。
可口可乐公司的CEO詹姆斯.昆西说：“如果我们不犯错，那就表明我们工作上都不够努力。”
奈飞的哈斯廷斯认为：“我们必须要冒更多的风险……去尝试更疯狂的事情……。”
贝佐斯将极可能是错误的“大胆押注”视为实验品：
“既然它们是一次实验，那么你肯定就不能提前知道它们会产生怎样的作用。毕竟实验究其本身来讲就是一件容易失败的事儿。但只要有几个巨大的成功就能弥补你所经历的无数次的失败。”
然而，所谓“失败是成功之母”，在我们这个演化的世界里，对绝大多数人而言并不成立。
现场 | 天津滨海农商银行总行副行长谢勇：区块链促进金融产业双向共赢:金色财经现场报道，10月8日，由天津口岸区块链验证试点实验室主办、微观科技承办的“区块链解码跨境贸易，数字经济助力科技金融—天津口岸区块链科技金融赋能贸易新闻发布会” 在天津丽思卡尔顿酒店召开。天津滨海农商银行总行副行长谢勇现场指出，滨海农商银行积极依托天津港口优势拥抱区块链技术服务实体经济发展，促进业务发展不断互联网化和现代化，将复杂的国际间业务不断优化。我们致力于实现金融和产业的双向共赢。[2019/10/8]
即使你勇于失败，不断探索，假如你的犯错不够聪明，不够随机，运气不够好，成功照样不会来临。
聪明而主动的犯错，需要有边界、有算法、有反馈、能遍历，也需要一些疯狂、随机和冗余。
哈耶克说：
虽然进化经常被总结成“适者生存”，但推动进化进程的却往往是不适者。尽管我们总是本能地以为复杂问题需要精心设计的解决方法，但进化却毫无规划可言。复杂得惊人的事物是在简单的过程中涌现出来的：尝试已有事物的不同版本，剔除失败，复制成功经验。
所以，成功学最大的问题是，忽略了那些事后不再发声的失败要素，简化了因果，甚至颠倒了因果，并且认为成功可以被设计，被简单复制。
log10(100000)
对于人们热衷于探寻模式和设计因果，哈耶克批评道：
人们总以为自己能设计出这样或那样的东西，但实际上，他们对要设计的东西几乎一无所知，经济学的独特职责就是展示人们的这种无知。
哈耶克的这句话，尤其适合应用于教育领域。
教育的目的和意义到底是什么？
以前是为了培养技能，可以上生产线纺纱造车。现在早变了，漫长的求学生涯，是人类社会的一种冗余机制。
对一个孩子而言，在被保护的童年与青少年期间，低成本地去犯人生当中所有可能的错误，也许是最有价值的。
所以，如哈耶克所言，教育应该允许孩子通过犯错，暴露出自己的无知，自己的愚蠢。
可事实呢？犯错、无知，是学校里最无法容忍的。
于是，可笑的事情出现了：一个人经历了十几年的教育，不断追求如何将这辈子几乎都不会再用上的知识做到“不出错”，不断地将那些严丝合缝的因果关系背得烂熟，最宝贵的个性因为无法显现而被磨灭，无价的多样性被统一的生产线加工成一个模子。
可是，我们眼前复杂的现实世界，越来越像休谟在几百年前所说的：
“我们无从得知因果之间的关系，只能得知某些事物总是会关联在一起。”
产生于工业革命年代的传统教育，早已无法应对非线性的、不确定的当下。
如果传授确定性知识的教育只是成为一个智力测试系统，以摧毁人才的方式来选拔人才，那么这一代价对社会、对个体而言都太昂贵了。
某女子学校创建了一个名为“失败”的项目。负责人雷切尔·西蒙斯说了一句非常贝叶斯主义的话:
“我们想要告诉大家的是，失败并不是学习过程中犯的错误，而是学习过程中的特征。”
教育教会我们学习和思考，更是教会我们如何挖掘自己独一无二的宝藏。
大自然实现了某种有算法的随机性，学校也应该如此。
所谓因材施教，不是定制名表，定制名包，而是提供一个有算法的系统，并且通过模拟真实的现实世界，让孩子自由探索，大胆犯错，无所顾忌地暴露自己的无知，呈现自己的天性，从而发现自己的禀赋，点燃愿意终其一生去努力的理想。
接下来，我要通过可逆的指数和对数运算，讲到复利的双向测试。
log10(1000000)
动态 | BCH Devs发布基于IPFS的双向支付概念:据News.bitcoin报道，BCH Devs（Bchd）的开发人员Chris Pacia透露了目前正在制作的新Bchd项目功能，该功能将允许基于比特币现金的双向支付渠道。此外，与Lightning Network相比，Bchd开发人员解释说团队已经创建了一个基于行星间文件系统（IPFS）的覆盖网络。[2018/12/17]
“奇怪”的是，对数的发明先于现代指数。原因是对数当时在航海与天文学领域太实用了。
对数可以将高级运算降为次级运算，例如化乘方开方为乘除，化乘除为加减，从而极大降低了运算量。
指数和对数互为“反函数”，二者之间是可逆的关系。
先看从指数到对数：
我们把k输入到上面的运算器，经过指数运算，得到a的k次方，再代入对数运算，又输出了k。
再倒过来，看从对数到指数，一样是输入K，输出k。
如上运算器，我们可以从左边输入，右边输出；也可以从右边输入，左边输出。
就像贝叶斯提出的逆概率，从而实现了可以“由果推因”，如上的双向运算，既是由因推果，又是由果推因。
这种方法，可以帮助我们检验自己的信念。
例如，假如你看到：
某人非常聪明并且努力，所以在房地产行业赚到了很多钱。
你就可以做一个双向测试：
从“非常聪明并且努力”，可以推出“在房地产行业赚到很多钱”吗？
从“在房地产行业赚到很多钱”，可以推出“非常聪明并且努力”吗？
如果不能，我们可能需要重新定义自己的那个信念。
以下我要讲的，绝非用公式包装成功学，而是分享一个有趣的“感知”。
我相信，如果你懂得创业，又懂指数和对数，一定能对如下内容会心一笑。
先定义一下，世俗意义上的成功，大多是通过大规模复制实现的。
企业复制产品，个人复制IP，基因复制生命。
成功的复制，就是将某样有价值的事物重复足够多次，从而实现复利。
越厉害的复制，越是有指数效应，并且边际成本递减，还能形成网络效应。
那么，复制什么呢？
在指数运算里，复制的是底数。例如，2的18次方是262144，其中底数是2，指数是18。
回到创业。
众所周知的精益创业，其核心思想是，先在市场中投入一个极简的原型产品，然后通过不断的学习和有价值的用户反馈，对产品进行快速迭代优化，以期适应市场。
精益创业的三个主要工具是：“最小可用品”、“客户反馈”、“快速迭代”。
在大规模复制之前，创业者必须以最小的成本和有效的方式验证产品是否符合用户需求，在最短时间里找到有价值的认知。
快速地去蒙，聪明地去试错，就像贝叶斯身后乱扔的球，以及过玻璃桥的大胆一跃。
这个有价值的认知，就是指数运算和对数运算中的底数。
创业的第一阶段，从0到0.1或者从0到1，像是一个对数运算；
在经过验证和迭代后，再实现爆发式增长。像是一个指数运算。
动态 | 马耳他获得第一台双向比特币ATM:7月15日消息，在制定了三个新的加密和区块链法律，为这些空间的监管设定标准后，区块链创新公司MoonZebra推出了第一个双向比特币ATM 。它位于Sliema的Tower Road旗舰店Quicklets，这是岛上的标志性建筑。[2018/7/15]
阿里云总裁认为技术只有两个核心价值：
第一、对于验证成功或接近成熟的业务，快速规模化，实现指数增长。
比如从1-10用了10天，那你从10-100应该只用两天或一天。
第二、要帮业务团队快速试错。
让产品快速上线，别在乎什么架构，有反馈才知道这个业务行不行，能不能活下来。
所以，创业的过程，交织着对数运算和指数运算。我们需要从两头分别输入数字，往返测试，以求发现内核，然后进行大规模复制。
一头计算作为复制内核的底数，一头计算指数增长的规模。
我在《人生算法》里，将此拓展到个人的演化：
上半场，是一个切割钻石的过程，目的就是为了不断找到真正属于你自己的最小的那个内核。
下半场，就是如何通过复制，令最小的内核最大化。
为什么要用“最小内核”来做指数运算的底数？
复利增长的关键是复制的连续性和稳定性，物理意义上去掉多余的部位，信息意义上去除噪音，能够令最小内核的复制更可持续。
这个过程，总是伴随着打破和重建。新晋导演章子怡认为，导演就是一个“打破瓶子”的过程：“你得把瓶子打碎了，钻出来透口气，再钻进另一个瓶子里。”
尼采错了，并非“那些杀不死你的，终将使你变得更强大”，而是你的强大需要通过杀死“不够强大”而呈现出来。
正如演化算法的三部曲：变异，选择，复制。
变异是某个认知，这个认知以某个最小化产品的形式被放在具体环境里，通过与环境的双向选择而不断迭代，一旦其生存模式被验证，就大规模复制。
一个人，或者一个机构，其成功的最大秘密是：找到可大规模复制的“大概率事件“。
log10(10000000)
事实上，马斯克总是提及的第一性原理，也包含了类似的双向推导。
先前，人们对“第一性原理”的理解主要是：
把一些事情归结为最基本的原则，尤其是物理定律，少一点儿类比，少一点儿夹层解释。
但其实不止于此。
马斯克说，另一个方法是：
在极限中思考问题。
如果你在思考一件事情的同时，把它扩展到一个非常大的范畴或一个非常小的范畴，事情会发生什么变化？
举个例子，不管是造电动车还是火箭，假如零件太贵，成本太高，你就可以想：
如果每年的产量是一百万台呢？那还贵吗？
如果一年一百万台还是很贵，那么数量就不是你的东西贵的原因，根本问题出在设计上。
这样一来必须改变设计，改变零部件，从根本解决价格问题。
这个，是从规模极限去推导。
然后，倒过来，从基本单元的极限去推导，一直到原子层面。
例如生产火箭，一直拆解到初始的资源和原料：
如果你看一下火箭的原材料，你会发现原料有铝、钢、钛合金、特种合金、铜等；
每个部件的组成元素的重量是多少，原材料价值是多少？
在不改变原材料的情况下，以上几个问题为火箭的成本设定了渐近极限。
更进一步，把原子排列成最终的形状，这将是你产品的最低成本。
在马斯克看来，产品的制造成本渐进式地接近其原材料价值。
所以，关于产品的第一性原理是：
尝试想象完美产品或技术，不管它是什么。然后思考：原子怎样才能完美地排列？进而找出如何获得这种形状的物品。
但是，大多数时候，人们停留在“夹层”。从观念上固守已有的东西，倾向于使用他们熟悉的工具和方法。
马斯克的思考方式是，通过双向推导：
我们一方面可以去发现规模效应下的完美产品；
一方面去创造工具、方法，找寻材料，从原子层面构建基本单元。
从因到果，再从果到因，双向推导至极限，会创造出惊人的奇迹。
log10(100000000)
在《鱿鱼游戏》中的第五关“跳玻璃桥”，一个人向前跳，不管他踩中了钢化玻璃，还是不幸踩碎普通玻璃，都为团队提供了信息。
这种信息，是通过消除不确定性来实现的。
就信息本身而言，“正确”或者“错误”，是等价的。不同的是，“正确”的人有机会再去踩下一关的玻璃。
那么，该如何度量信息呢？
香农引入了“比特”的概念。
比特来自二进制，香农认为可能拥有的最简单的信源，就是抛硬币，正或反，是或否，1或0，这是可能存在的最基本的信息。
就像信息的原子。
比特是在两个等概率的可能性之中进行选择后所产生的信息量。所以“一台拥有两种稳定状态的设备……能够存储1比特信息”。
回到开始的猜钻石游戏，你需要多少信息？
在左右抽屉里二选一，对应1比特；再在黑白盒子里二选一，对应1比特；
所以你总共需要2比特，以实现在四个盒子里选出一个。
玻璃桥游戏里，总变化高达262144种可能性，但因为这是18个串联在一起的二选一，我们算一下需要多少信息：
也就是计算262144以2为底的对数：log2262144=18，相当于2的18次方的逆运算。
为什么计算对数？
因为：采用概率分布的对数作为信息的量度具有可加性。
由于求对数，所以有一种逆向的指数效应。其所产生的加速效应，我称之为逆向复利。
过玻璃桥的变化虽然很多，但信息只有18比特。
那么，每跳一个人，不管是否掉下去，就获得了1比特。
当然，如果没掉下去，就又多了一次下一轮的测试机会。
由此，每跳一次，就获得了一个信息，也就消除了一部分不确定性。教科书对此的描述是：
香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农熵，或信息熵。
在信息论里面，熵是对不确定性的测量。
在信息世界，熵越高，则能传输越多的信息，熵越低，则意味着传输的信息越少。其公式如下：
其中p代表随机事件X为xi的概率。
还是以扔硬币为例。
扔一次硬币，出现正面的概率是p1=0.5,出现反面的概率也是p2=0.5。
所以，根据公式计算：
H=-(0.5log2(0.5)+0.5log2(0.5))=1比特
但是，如果这枚硬币被做了手脚，出现正面的概率是0.7,反面是0.3。那么“扔一次这个硬币”这个事件的信息熵是多少呢？计算如下：
H=-(0.7log2(0.7)+0.3log2(0.3))=0.88比特
假如你去玩抛硬币的游戏，而且你知道有一桌的硬币做了手脚，正面概率是70%，那么你一定会选这一桌，并且每次都押正面，因为其信息熵更低，这意味着该“不确定性”比公平的硬币降低了。
在《鱿鱼游戏》里，那位玻璃厂的老师傅，就是靠自己的专业，降低了自己每一次蒙的行为的信息熵，就像上面那个做了手脚的硬币。
因此，他消除不确定性的“能力”更强。
log10(1000000000)
再说回复利的主题。
复利的基本公式，是一个指数运算。
复利算起来很简单，实现很难，原因见《复利的谎言》：
真相1、世界被随机性主宰；
真相2、连续性很难实现；
真相3、现实是不均匀的；
真相4、回报是不对称的；
真相5、筹码是有限的。
用复利公式来描述以上几点就是：
1、利率r与期数n都是说不准的；
2、比较好的回报r，期数n总是不长久；
3、利率r总是起起伏伏，时好时坏；
4、现值PV大，终值FV未必大；
5、以总值论，本金太小。以比例论，本金撑不到赚钱的时刻。
那么，复利公式还有用吗？
在充满不确定性的现实世界，用概率来描述一个事件，是理性且智慧的。
复利公式也不例外。
确定性下的复利公式是：
但是，现实世界的回报r并不确定，那么我们用概率来描述。
举例：若一投资有60%的获胜率，而投资者在赢得局时，可获得一赔一的赔率。为了避免爆掉，所以下注者每次会控制下注比例，假设是x，那么连续下注n次，期望值计算是：
f(x)=(1+x)^(n0.6)(1-x)^(n0.4)
如上，这其实是一个概率世界的复利公式。
首先，这里仍然有一个重要前提：期望值为正。否则就是。
这时，我们会发现，下注比例x太小，赚不到钱；x太大，可能会爆掉，以致无法实现遍历性而“享用”正期望值。
有没有一个方法，可以控制x的数值，就像用开关控制水量一下，调节每次下注的比例，在确保不会爆仓的前提下实现收益最大化？
转化为数学问题，就是求上面f(x)的极大值。
当年索普向香农请教期望值优势下的下注比例问题，香农向他推荐了自己同事凯利的一个公式。
与索普自己的信息熵公式有点儿像，凯利公式是对概率世界的复利公式取对数，然后求极值。
凯利公式的目标是：最大化资产的增长率，也即最大化对数资产的期望值。
设开始时的资产是1，每次下注的比例为f，有p的概率会以b的赔率赢钱，资产的对数期望值计算如下：
要找到最大化这个期望值f，只需E对f的导数值为零：
求解上述方程，得出凯利公式：
用图形，更容易看出凯利公式的工作原理：
横坐标是下注比例，纵坐标是回报。下注小，安全但回报低；下注大，极可能回报也不高风险却很大。
凯利公式帮助我们找到图中的峰顶，对应的就是最佳下注比例。
人的一生，是由很多个下注串起来的。虽然不像过玻璃桥那么非死即活，但一样充满了巨大的不确定性。
每次做决策时，计算一下输赢的概率，算一下回报，并且随时提醒自己控制好下注的水龙头，千万别Allin。
凯利公式的工作原理图最上方的那个点，也许是我们想在人生中找寻的位置：活下来，活好。
log10(10000000000)
如上所述，对数与复利式的增长有关。
假设我们往银行存1个亿，银行的年息是100%，如果每年产生一次，那我们可以知道一年到头你的账户总额是：
但是如果我们换成一个月产生一次利息，然后你又把每个月的利息重新存入本金，那你一年到头的账户总额是：
进一步，我们换成一个天产生一次利息，然后你把每天的利息重新存入本金，那你一年到头的账户总额是：
假设银行愿意每秒付利息，你也每秒取出利息再存入，利滚利会不会涨上天呢？
并不会，你的银行余额是2.7182817813元。
所以，1元钱存1年，在年利率100%情况下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e≈2.71828…。
e，作为数学常数，是自然对数函数的底数，亦称自然常数、自然底数，或是欧拉数。
在谷歌2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整数，而是$2,718,281,828，正是来自e。其2005年的一次公开募股中，集资额是$14,159,265，与圆周率有关。
e和π，的确是两个最神奇的数字了。
e的本质，是自然增长的极限。
e在自然界无处不在，最有名的是等角螺线，又叫对数螺线或生长螺线。
例如：
还有：
昆虫以等角螺线的方式接近光源；
蜘蛛网的构造与等角螺线相似；
旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为12°；
低气压(热带气旋、温带气旋等)的外观像等角螺线。
雅各布·伯努利格外喜欢等角螺线。他发现了等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线，并对此十分惊叹和欣赏。
放大和缩小后的对数螺线，和原图形相似。
还有旋转的自相似性：旋转后的对数螺线，和原图形相似。
于是，雅各布·伯努利要求将等角螺线刻在自己的墓碑上，并附词：
纵使改变，依然故我。
郑重声明： 本文版权归原作者所有， 转载文章仅为传播更多信息之目的， 如作者信息标记有误， 请第一时间联系我们修改或删除， 多谢。