继上一次关于支付网络中路由问题的全面研究之后，热爱研究的 Nervos 小伙伴 Shor 对通道网络中的再平衡（Rebalancing）算法又做了详细的研究。
本文中，我们会介绍通道网络（Channel Network，CN）中的 Rebalance 问题。首先我们将介绍问题的定义和现有的解决算法。之后，我们会针对这一问题，介绍必要的图论基础和建模方法。最后，我们提供一种算法加速思路。（本文默认读者具备对于通道网络的常识。）
支付网络中的 Rebalance 问题简介我们把一个支付网络看作一个无向图，每个图中的节点代表一个 PID，每条边代表一个支付通道，其中每条边在两端节点各有一个存量。注意：我们默认每个（双向）支付通道内部总存量守恒，即由 A，B 组成的通道中，如果 A 有余额 50，B 有余额 80，B 在向 A 支付 10 元后，A 有余额 60，B 有余额 70。
有时，因为网络拓扑结构等原因，一个支付通道的一个方向总比另一个方向「更受欢迎」，在此情况下，各个通道的有限总存量都被「堆积」到一侧，或者说「受欢迎方向」的流量就此耗尽了。因此，支付网络会频繁出现通道流量耗尽，不得不再次「上链」打开新通道的情况。再平衡（rebalancing）技术通过以下方式试图缓解这一问题。
比特币闪电网络通道数量为75,987个:金色财经报道，1ML数据显示，当前比特币闪电网络节点为16,052个，过去30天增加0.55%;通道数量为75,987个，较一个月前增加了0.4%;网络容量为5,237.21枚BTC，月涨2%。[2023/1/23 11:26:44]
例如下图中, 我们考虑一个由四条边构成的回路，他们主流方向的 10 单位余量都已经耗尽。
其中每个箭头
表示一个连接了 A 与 B 的无向通道，其中 A 方存量是 a，B 方存量是 b。值得注意的是，箭头方向代表了主流方向，因而我们画成了一个有向图，不过最新基于 RbR 的支付通道都是双向的。Revive 通过一个来自全局 leader 的协调（本文中，我们不予考虑这个 leader 是如何实现的），完成一个 rebalance 工作。例如，可以协调 B 向 A 转账 5 个单位，协调 A 向 C 转账 5 个单位，协调 C 向 D 转账 5 个单位，协调 D 向 B 转账 5 个单位，使得全图结构如下图所示。其本质上是找到一个「回路」，并在这个回路上让所有通道一起逆着主流方向回流、抵回一些流量。
声音 | ARPA CEO：ARPA主网将于12月23号开放注册通道:ARPA CEO Felix Xu在越南河内举办的币安线下见面会上表示，ARPA主网将于12月23号0点（香港时间）开放注册通道并开始接受注册。 Felix Xu透露，主网细节，包括节点数量，参与门槛，技术说明等会在12月23号正式公布。[2019/12/17]
当我们提及 Rebalance 时，到底在试图解决哪些问题？笔者认为，关键需要解决两个问题：
第一个问题是已知全图求调度方案的问题（将在之后着重介绍）。
第二个问题是协议问题：有谁来实现上述的运算过程？如果是以个别实体节点（leader）完成，如何让他们即时收取到一部分图的实时信息并作出 rebalance 决策？如何规避他们作恶？如果是以一种去中心化的方式实现，又如何使信息收集、运算和实施三个环节成为可能？如何让网络节点参与并遵循我们想要设定的规则？
声音 | 央行反监测分析中心主任：复杂结构性金融产品、虚拟货币等成为犯罪新通道:中国人民银行反监测分析中心主任苟文均在由复旦大学中国反研究中心和上海市银行同业公会联合主办的2019第九届中国反高峰论坛上表示，和各类犯罪总是披着合法外衣在重重迷雾中进行的，其手段、方式和渠道不断推陈出新。近年来，复杂的结构性金融产品、虚拟货币等成为犯罪的新通道。苟文均透露，央行将研究探索对金融机构和金融控股公司资金流动中异常行为的监测分析，逐步将更多金融活动和资产扩张行为纳入监测分析范围；将探索建立金融机构、外汇市场、房地产金融、债券市场、跨境资本流动等领域风险的监测分析框架，深度开展战略分析和研判，及时识别各种漏洞、风险和威胁，为国家宏观决策和管理提供强有力支持。（澎湃新闻）[2019/11/21]
本文中，我们先抛开第二个问题，专注于第一个问题。
支付网络中现有的 rebalancing 问题可以被这样抽象刻画：
行情 | 闪电网络通道数量持续下降，过去30天下降5.4%:据1ML.com数据显示，闪电网络节点数量呈持续上升趋势，然而通道数量及网络承载能力继续下降。目前，支撑网络的节点数量达到8893个，在过去的30天中上涨了3.89%，而通道数量为34596个，在过去的30天中下降了3.7%。闪电网络承载能力目前为941.90个BTC，约合1110.10万美元。[2019/6/27]
给定一个支付网络，寻找足够多的回路，最大化可以调整的流量。无疑这是个线性规划问题。
现有的思路（即 Revive 工作的思路）是直接解这一个线性规划问题。但是，直接求解这个线性规划问题的代价是非常昂贵的（对于当前支付网络规模而言尚可，但对于一个具有成百万上亿节点的未来假想支付网络不可行）。最新的线性规划算法理论复杂度为 O(M^w)，其中 M 为变量和约束条件个数，w 是一个略小于 3 的常数。对于当前具有万级别节点的支付网络而言这个复杂度可以接受，不过我们认为这个复杂度对于未来具有百万上亿级别节点的支付网络来说，高了一些。但也没高太多！倘若能把复杂度稍微优化下去一些，就可以接受了。
行情 | 闪电网络通道数量持续下降 过去30天下降5.2%:1ML.com数据显示，闪电网络节点数量呈现持续上升趋势，而通道数量及网络承载能力继续下降。目前，支撑网络的节点数量达到8829个，在过去的30天中上涨了4.42%，而通道数量为34666个，在过去的30天中下降了5.2%。闪电网络承载能力目前为946.85个BTC，约合876.62万美元。[2019/6/20]
接下来，我们将给出我们的解决思路。不过在此之前，我们先介绍一些必要的基础知识。
需要的预备知识图论基础（强连通分量）
对于一个有向图，一个强连通分量指一个任意两点之间可以互相由图上有向边访达的子图。一个极大强连通分量是一个增加任何一个其它节点后就不具备强连通分量性质的子图。例如上图中，我们可以用灰色区域勾勒出它的四个极大强连通分量。
我们可以观察到以下方面：
极大强连通分量对任何一个有向图的所有节点完成了一个 partition。
任何一个回路只会存在在同一个极大强连通分量内。
存在一个极高效的 O(N) 算法求出任一有向图的所有极大强连通分量（具体算法本文中不赘述）。
其中 N 是全网节点数量。
将每个极大强连通分量看作一个整体，用边连接所有有访达关系的分量并缩点后，我们得到了一个有向无环图。
具体优化办法接下来，我们介绍具体算法。
首先，我们对原支付网络图做一个简化变幻，将每一个双向通道变换为从存量多的一方指向存量少的一方的有向边，边的容量是两端存量差的一半。例如下图中，我们将上图变换为下图。
于是，我们将寻找回路问题转化成了寻找有向图环路的问题。有向图的每一条边代表了一个为了让原图的对应通道更加平衡需要回流流量的一个「势能」。每一个环路可以被看作一个回流方案。在进行强连通分量缩点后，我们只需要通过现有线性规划解每一个极大强连通分量内部的 rebalance 问题。
其解决方案便已明朗：只需要求解出这个有向图的所有极大强连通分量，并且在每一个极大强连通分量中通过常规的线性规划，求得一个最优的调度方案。因为我们认为每个回路并不会跨两个不同的极大强连通分量，所以我们认为这个方法求出的就是全局的最优调度方案。
这里其实有个小问题：这真的是个等价转换吗？实事求是地说并不是（虽然乍看是的）。有可能会出现最优全局调度方案中有回路横跨两个极大强连通分量的情况，因为有可能会出现「需要为了多数人苦一苦少数人」（「需要让少数边更加不平衡来让更多边变得更平衡」）能得到更优解的可能性。不过笔者暂时认为这种偏差是值得的。况且，涉及到现实落地，兴许那些少数人并不会接受这样的调度。
细心的读者们应该发现了本文中的两个没有解释清楚的问题：
这个问题，本质上在问未来的大规模支付网络会有多少个极大强连通分量，分量越多，优化效果就越明显。本质上这个问题是未来大规模支付网络的拓扑结构是怎么样的。可以预期的是，如果绝大多数群众节点的度数只有 4 度左右，极大强连通分量的期望数量是关于网络节点数量以一种低于线性的速度增长的。
其实，这两个问题本质上都在问：未来的大规模通道网络的拓扑结构究竟是怎么样的？
笔者认为，这个问题不但笔者回答不了，恐怕也没有人能准确回答的了。这一点笔者已经在之前的文章「一份关于支付网络中路由问题的全面研究」中给出了解释。
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